Algèbre associative sur un corps

Une algèbre associative ${\displaystyle A}$ sur un corps commutatif ${\displaystyle \mathbb {K} }$, encore appelée ${\displaystyle \mathbb {K} }$-algèbre associative, est un espace vectoriel sur ${\displaystyle \mathbb {K} }$ muni d'une multiplication bilinéaire ${\displaystyle A\times A\to A}$ telle que

• (x y) z = x (y z) pour tous x, y et z dans ${\displaystyle A}$,

où l'image de (x,y) est notée xy.

Si ${\displaystyle A}$ contient une unité, i.e. un élément 1 tel que 1x=x=x1 pour tout x dans ${\displaystyle A}$, alors ${\displaystyle A}$ est appelée algèbre associative unifère ou unitaire. Une telle algèbre est un anneau et contient le corps de base ${\displaystyle \mathbb {K} }$ par identification de c dans ${\displaystyle \mathbb {K} }$ avec c1 dans ${\displaystyle A}$.

La dimension d'une algèbre associative ${\displaystyle A}$ sur un corps ${\displaystyle \mathbb {K} }$ est sa dimension comme espace vectoriel sur ${\displaystyle \mathbb {K} }$.

• Les algèbres de Lie sont des algèbres non associatives.
• Les octonions ${\displaystyle (\mathbb {O} ,+,\cdot ,\times )}$ forment une ${\displaystyle \mathbb {R} }$-algèbre unifère non associative et non commutative.

• Algèbre associative (sur un anneau)
• Algèbre de Clifford
• Algèbre enveloppante
• Algèbre tensorielle