Algèbre associative

Soit A un anneau commutatif. On dit que (B , + , . , × ) est une A-algèbre associative lorsque :

1. (B , + , . ) est un A-module,
2. (B , + , × ) est un pseudo-anneau,
3. ${\displaystyle \forall \lambda \in A,~\forall x,y\in B,\qquad \lambda \cdot (x\times y)=x\times (\lambda \cdot y)=(\lambda \cdot x)\times y~.}$

Les éléments de A sont appelés les scalaires.

Dans le cas particulier où l'anneau A est un corps, on parle alors d'algèbre associative sur un corps.

On parle d'algèbre unitaire (ou unifère) lorsque B possède un neutre pour la multiplication.

• Tout anneau (M, + , × ) (et même tout pseudo-anneau) est aussi une ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-algèbre associative pour la loi externe définie par : pour tout entier ${\displaystyle n}$ et tout élément ${\displaystyle x}$ de M,

  ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\text{si }}n>0{\text{ alors }}&n\cdot x=\underbrace {x+x+\ldots +x} _{n\ \mathrm {fois} }~,\\{\text{si }}n<0{\text{ alors }}&n\cdot x=\underbrace {-x-x-\ldots -x} _{|n|\ \mathrm {fois} }~,\\{\text{si }}n=0{\text{ alors }}&n\cdot x=0~.\end{matrix}}\right.}$

• Tout anneau est une algèbre associative sur son centre, donc sur tout sous-anneau A de ce centre.
• Soit A un anneau commutatif.
  • L'algèbre d'un monoïde L sur A est une A-algèbre associative et unifère. C'est un cas particulier de l'exemple précédent. (Si le monoïde L est ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)^{k}}$, cette algèbre est celle des polynômes en k indéterminées sur A.)
  • L'ensemble des endomorphismes d'un A-module est une A-algèbre associative.

Il existe une définition équivalente[1] lorsque l'algèbre B est unifère :

Soient A un anneau commutatif, B un anneau, et ${\displaystyle f\,:\,A\to B}$ un morphisme d'anneaux tel que f(A) soit dans le centre de B. On peut alors définir une loi externe ${\displaystyle (a,b)\mapsto f(a)b}$ qui munit B d'une structure de A-algèbre associative (et unifère).

Inversement, si B est une A-algèbre associative et unifère, ${\displaystyle f\,:\,a\mapsto a.1_{B}}$ est un morphisme d'anneaux tel que

${\displaystyle (a.1_{B})\times x=1_{B}\times (a.x)=(a.x)\times 1_{B}=x\times (a.1_{B})~{\text{donc}}~f(a)\times x=x\times f(a)~;}$

l'image de A est donc contenue dans le centre de B.

La classe des algèbres associatives sur un même anneau A forme une sous-catégorie pleine de la catégorie des algèbres sur A, et ses objets libres sont les algèbres de polynômes non commutatifs.