Pseudo-anneau

• Tous les anneaux (unitaires) sont a fortiori des pseudo-anneaux.
• L'ensemble 2Z des entiers relatifs pairs est un pseudo-anneau qui n'est pas un anneau.
• Un pseudo-anneau de carré nul[3] A est un pseudo-anneau dans lequel le produit de deux éléments vaut toujours 0. Un pseudo-anneau de carré nul qui est par ailleurs unitaire est forcément réduit à l'anneau nul. Tout groupe abélien (A, +) peut être muni d'une structure de pseudo-anneau de carré nul en posant xy = 0 pour tous x et y de A.
• L'ensemble des matrices à coefficients dans Z de la forme ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\0&0\end{pmatrix}}}$ est un pseudo-anneau. Il a une infinité de neutres à gauche (toutes les matrices de la forme ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&c\\0&0\end{pmatrix}}}$) mais aucun d'entre eux n'est neutre à droite : ce n'est donc pas un anneau unitaire[4].
• De nombreuses algèbres associatives sur R ou C, qui jouent un rôle essentiel en analyse fonctionnelle, sont dépourvues d'élément neutre multiplicatif et sont à ce titre des pseudo-anneaux : ainsi l'espace noté ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}(\mathbb {R} )}$ des fonctions qui tendent vers zéro à l'infini sur R, ou l'espace de Schwartz des fonctions à décroissance rapide (muni de la multiplication usuelle des fonctions), l'espace L¹ des fonctions Lebesgue-intégrables sur R (muni de la convolution) ou l'espace des opérateurs compacts d'un espace de Hilbert de dimension infinie (muni de la composition des opérateurs).

Si un pseudo-anneau a exactement un neutre à gauche, celui-ci est également neutre à droite, et le pseudo-anneau est donc un anneau unitaire[4].

• Morphismes : on peut les définir[5] comme sur les anneaux, à ceci près qu'il n'y a que deux conditions à poser : un morphisme de pseudo-anneaux est une application entre deux pseudo-anneaux A et B qui vérifie, pour tous a et b :

f(a + b) = f(a) + f(b)

f(ab) = f(a)f(b).

• Sous-pseudo-anneaux : une sous-structure se définit ici comme un sous-groupe additif par ailleurs stable par multiplication[6].
• Idéaux et quotients : sans qu'il n'y ait rien à changer, on définit comme sur les anneaux les notions d'idéal à droite, d'idéal à gauche, d'idéal bilatère et de quotient par un idéal bilatère, ce quotient étant un pseudo-anneau[7].
• Éléments à dénomination spécifique : on définit exactement comme dans un anneau les puissances d'un élément x (à ceci près qu'il n'est plus possible de définir x⁰), les diviseurs de zéro, les éléments nilpotents, les éléments idempotents[8].
• Caractéristique : faute de neutre multiplicatif, on peut tout de même en donner une définition qui ne repose que sur la structure de groupe abélien comme suit : soit A un pseudo-anneau. S'il existe un entier n > 0 tel que nA = {0}, on appelle caractéristique de A le plus petit tel entier ; s'il n'en existe pas, on dit que A est de caractéristique nulle[9]. Lorsque l'anneau est unitaire, cette définition coïncide avec celle le plus habituellement fournie pour la caractéristique de celui-ci.
• Modules : on peut recopier la définition d'un module sur un anneau unitaire en y supprimant la condition relative au neutre multiplicatif (1x = x). Bourbaki appelle pseudomodule la structure ainsi définie[10].

Dans cette section, tous les anneaux sont supposés commutatifs.

On peut définir dans un pseudo-anneau commutatif un idéal premier en reprenant une des formes alternatives de la définition d'un idéal premier dans un anneau unitaire :

Un idéal I d'un pseudo-anneau A est dit premier lorsqu'il est différent de A et, pour tous x, y de A,

xy ∈ I ⇒ x ∈ I ou y ∈ I.

Par le même raisonnement qu'en présence d'un neutre, on obtient la même conclusion, qui demande juste reformulation :

Un idéal I d'un pseudo-anneau commutatif A est premier si et seulement si l'anneau quotient de A par I n'est pas réduit à {0} et ne possède pas de diviseurs de zéro.

De même, on peut définir un idéal maximal d'un pseudo-anneau commutatif A comme un idéal qui est maximal dans l'ensemble (ordonné par l'inclusion) des idéaux de A autres que A lui-même.

En voici un exemple. Dans le pseudo-anneau commutatif 2Z, le sous-groupe additif 4Z est manifestement un idéal maximal. Pourtant l'anneau quotient de A par I n'est pas un corps commutatif, mais est le pseudo-anneau de carré nul à deux éléments. En outre, 4Z n'est pas premier, quoique maximal. On peut déjà retenir de cet exemple que :

Dans les pseudo-anneaux commutatifs, il existe des idéaux maximaux non premiers[16].

Pour mémoire, on rappelle qu'en théorie des anneaux commutatifs unitaires, les idéaux maximaux sont caractérisés par la production d'un anneau quotient qui est un corps. Un énoncé analogue quoique plus lourd existe.

Un idéal I d'un pseudo-anneau commutatif A est maximal si et seulement si l'anneau quotient de A par I est soit un corps, soit un pseudo-anneau de carré nul sur un groupe additif cyclique de cardinal premier[17].

Une autre différence avec la théorie des anneaux unitaires concerne le théorème de Krull. Les démonstrations de celui-ci reposent de façon cruciale sur la présence d'une unité dans l'anneau ; en effet, on y utilise la stabilité de la classe des idéaux propres (c.-à-d. strictement inclus dans l'anneau) par union croissante, stabilité qui se justifie par le fait qu'une union croissante d'idéaux propres, qui est clairement un idéal, ne contient pas 1 donc est encore propre. Non seulement cet argument de démonstration tombe si l'on considère des pseudo-anneaux, mais aussi le théorème, comme le montre l'exemple suivant.

Soit k un corps commutatif. On note A l'anneau :

${\displaystyle A:=k[X,X^{1/2},X^{1/3},X^{1/4},\ldots ].}$

(on entend par cette notation le quotient ${\displaystyle k[Y_{1},Y_{2},Y_{3},\ldots ]/(Y_{1}-Y_{2}^{2},Y_{1}-Y_{3}^{3},\ldots )}$).

Dans cet anneau commutatif unitaire A, on considère l'idéal P engendré par les puissances fractionnaires de X, c'est-à-dire :

${\displaystyle P:=(X,X^{1/2},X^{1/3},X^{1/4},\ldots )}$

qui est manifestement un idéal maximal. On introduit alors l'anneau local A_P localisé de A en P, et l'on note T l'unique idéal maximal de A_P. Dit plus concrètement, T est donc l'ensemble des éléments du corps des fractions de A qui ont une expression de la forme :

${\displaystyle cX^{r}{\frac {1+a_{1}X^{s_{1}}+\cdots +a_{m}X^{s_{m}}}{1+b_{1}X^{t_{1}}+\cdots +b_{n}X^{t_{n}}}}}$

dans laquelle c, a₁,...,a_m,b₁,...,b_n sont des scalaires tandis que les exposants r, s₁,...,s_m,t₁,...,t_n sont des nombres rationnels strictement positifs.

Le pseudo-anneau commutatif T défini ci-dessus n'a aucun idéal maximal[18].