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Sous-groupe

Un sous-groupe est un objet mathématique décrit par la théorie des groupes.

Dans cet article, (G, ∗) dĂ©signe un groupe d'Ă©lĂ©ment neutre e.

DĂ©finitions

Soit H un sous-ensemble de G. On dit que H est un sous-groupe de (G, ∗) si la structure de G induit sur H une structure de groupe, c'est-Ă -dire si les trois conditions suivantes sont satisfaites : H comprend le neutre de G, le composĂ© de deux Ă©lĂ©ments de H selon la loi de G appartient toujours Ă  H et l'inverse (selon la loi de G) de tout Ă©lĂ©ment de H appartient lui-mĂȘme Ă  H. Dans ce cas, on dit aussi que le groupe formĂ© par H et par la loi de groupe induite est un sous-groupe de G[1].

Dans la pratique, on note la loi interne du sous-groupe avec le mĂȘme symbole que celui de la loi interne du groupe, c'est-Ă -dire ∗.

Sous-groupe propre

  • Si G est un groupe alors {e} (le groupe rĂ©duit Ă  l'Ă©lĂ©ment neutre) et G sont toujours des sous-groupes de G. Ce sont les sous-groupes triviaux de G. On les appelle Ă©galement les sous-groupes impropres de G.
  • Soit H, un sous-groupe de G diffĂ©rent des sous-groupes triviaux, alors H est un sous-groupe propre de G.
  • La terminologie est en fait flottante. Les auteurs anglophones[2] et certains auteurs francophones[3] appellent sous-groupes propres d'un groupe G les sous-groupes de G distincts de G. Les auteurs qui adoptent cette dĂ©finition d'un sous-groupe propre dĂ©signent par « sous-groupe trivial » (quand ils emploient cette expression) le sous-groupe rĂ©duit Ă  l'Ă©lĂ©ment neutre[2].

Propriété

L'Ă©lĂ©ment neutre de H est idempotent donc Ă©gal Ă  e (le neutre de G), et le symĂ©trique (dans H) d'un Ă©lĂ©ment h de H est aussi (l'unique) symĂ©trique de h dans G. Pour cette raison, leur notation est la mĂȘme dans H que dans G.

Caractérisation

D'aprÚs la définition donnée plus haut, une partie H de G est un sous-groupe de G si et seulement si :

  1. H contient e et
  2. H est stable par produits et inverses, i. e. :
    ou encore :

Dans cette caractérisation, on peut (compte tenu de la condition 2.) remplacer la condition 1. par : H est non vide.

Un sous-ensemble fini de G est un sous-groupe de G si (et seulement si) il est non vide et stable pour les produits[4].

Exemples

Sous-groupe d'un groupe cyclique fini

Soit G un groupe cyclique fini d'ordre pq, oĂč p et q sont deux entiers strictement positifs. Alors G a un unique sous-groupe d'ordre p. Ce sous-groupe est cyclique, engendrĂ© par gq oĂč g est n'importe quel gĂ©nĂ©rateur de G.

Sous-groupe des entiers relatifs

Les sous-groupes du groupe additif â„€ des entiers relatifs sont les parties de la forme nâ„€, pour n'importe quel entier n[5].

Sous-groupe des réels

Plus gĂ©nĂ©ralement, les sous-groupes non denses du groupe additif ℝ des rĂ©els sont les parties de la forme râ„€, pour n'importe quel rĂ©el r.

On en dĂ©duit le thĂ©orĂšme de Jacobi-Kronecker : dans le cercle unitĂ© (le groupe multiplicatif des complexes de module 1), le sous-groupe des puissances d'un Ă©lĂ©ment ei2πt (qui est Ă©videmment fini si t est rationnel) est dense si t est irrationnel.

Sous-groupe engendré par une partie

Soit S une partie de G. Il existe un plus petit sous-groupe de G contenant S, appelĂ© « sous-groupe engendrĂ© par S », et notĂ© 〈S〉.

ThéorÚme de Lagrange

Si G est d'ordre fini, et H un sous-groupe de G, alors le thĂ©orĂšme de Lagrange affirme que [G:H] |H| = |G|, oĂč |G| et |H| dĂ©signent les ordres respectifs de G et H. En particulier, si G est fini, alors l'ordre de tout sous-groupe de G (et l'ordre de tout Ă©lĂ©ment de G) doit ĂȘtre un diviseur de |G|.

Corollaire

Tout groupe d'ordre premier p est cyclique et isomorphe Ă  â„€/pâ„€.

Liens avec les homomorphismes

La notion de sous-groupe est « stable » pour les morphismes de groupes. Plus précisément :

Soit f : G → G' un morphisme de groupes.

  • Pour tout sous-groupe H de G, f(H) est un sous-groupe de G'.
  • Pour tout sous-groupe H' de G', f−1(H') est un sous-groupe de G.

Si K est un sous-groupe de H et H un sous-groupe de G alors K est un sous-groupe de G, et de mĂȘme en remplaçant « est un sous-groupe » par « est isomorphe Ă  un sous-groupe ». Mais l'analogue du thĂ©orĂšme de Cantor-Bernstein est faux pour les groupes, c'est-Ă -dire qu'il existe (parmi les groupes libres par exemple) deux groupes non isomorphes tels que chacun se plonge dans l'autre.

Liens avec les treillis

Les sous-groupes d'un groupe quelconque donnĂ©, forment un treillis complet pour l'inclusion. Il y a un sous-groupe minimal, le groupe {e} (e Ă©tant l'Ă©lĂ©ment neutre de G), et un sous-groupe maximal, le groupe G lui-mĂȘme. La borne infĂ©rieure de deux sous-groupes A et B est leur intersection A⋂B. La borne supĂ©rieure est le sous-groupe engendrĂ© par la rĂ©union des sous-groupes, soit 〈A⋃B〉.

Les sous-groupes distingués d'un groupe G quelconque forment également un treillis pour l'inclusion. Les éléments minimal et maximal sont respectivement {e} et G.

Notes et références

  1. N. Bourbaki, ÉlĂ©ments de mathĂ©matique, AlgĂšbre, Chapitres 1 Ă  3, Paris, 1970, p. I.31.
  2. Voir par exemple (en) Joseph J. Rotman (en), An Introduction to the Theory of Groups [dĂ©tail des Ă©ditions], 4e Ă©d., p. 22.
  3. Voir par exemple Josette Calais, ÉlĂ©ments de thĂ©orie des groupes, Paris, P.U.F., p. 30.
  4. Voir par exemple cet exercice corrigé de la leçon « Théorie des groupes » sur Wikiversité.
  5. La preuve est classique. Voir par exemple le chapitre « Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z » du cours de théorie des groupes sur Wikiversité.
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