Opérateur compact

Soient X un espace vectoriel normé et T un opérateur borné sur X. Si T est de rang fini n, il existe n formes linéaires continues ${\displaystyle \varphi _{1},\dots ,\varphi _{n}\in X'}$ et n vecteurs ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in X}$ tels que

${\displaystyle \forall x\in X,\quad Tx=\sum _{1\leq k\leq n}\varphi _{k}(x)x_{k}.}$

Les opérateurs bornés de rang fini sont compacts car dans un espace de dimension finie, tout fermé borné est compact. Par conséquent, si X est de dimension finie, tout opérateur borné de Y dans X est compact. Réciproquement, d'après le théorème de compacité de Riesz, si l'application identité de X est un opérateur compact alors X est de dimension finie.

Dans ℒ(Y, X) avec X complet, l'ensemble des opérateurs compacts de Y dans X étant fermé, toute limite d’opérateurs de rang fini est un opérateur compact. On dit que X a la propriété d'approximation (« PA ») lorsque la réciproque est vraie pour tout espace de Banach Y. En particulier si X a la PA alors, dans ℒ(X), les opérateurs compacts sont exactement les limites d'opérateurs de rang fini. Parmi les espaces ayant la PA, citons par exemple les espaces de Hilbert, ou les espaces ayant une base de Schauder, comme les espaces L^p([0,1]), 1 ≤ p < +∞.

Comme précédemment, on considère un opérateur compact T sur un espace de Banach complexe X. On suppose que X est de dimension infinie. Alors[2] :

• le spectre de T contient 0 ;
• tous ses éléments non nuls sont des valeurs propres de T ;
• il est au plus dénombrable ;
• s'il est infini dénombrable, toute énumération {λ₁, λ₂, … } de T est une suite de limite 0.

Pour tout complexe λ ≠ 0, l'opérateur T – λI est de Fredholm d'indice 0, c'est-à-dire que la dimension du noyau de T – λI est finie, égale à la codimension de l'image. Pour toute valeur propre λ ≠ 0, le sous-espace propre associé est de dimension finie puisque son application identité est compacte , comme restriction de T/λ. Pour un tel λ, il est possible de définir, comme en dimension finie, le sous-espace caractéristique associé : c'est la réunion de la suite, croissante mais stationnaire, des ker (T – λI)ⁿ. C'est donc ker (T – λI)^m pour tout entier m assez grand. Pour un tel m, on a la somme directe topologique ${\displaystyle X=\ker(T-\lambda {\rm {I}})^{m}\oplus {\rm {Im}}(T-\lambda {\rm {I}})^{m},}$ l'opérateur T – λI induisant sur le premier sous-espace stable un endomorphisme nilpotent et sur le second, une bijection.

Il peut arriver que T n'ait aucune valeur propre, donc que son spectre soit réduit à 0, comme dans l'exemple[3] de l'opérateur de Volterra T défini sur L²([0,1]) par ${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{0}^{x}f(y)\mathrm {d} y.}$