Dual topologique

À tout vecteur ${\displaystyle v}$ de ${\displaystyle E}$ on peut faire correspondre l'application ${\displaystyle p_{v}}$ de ${\displaystyle \scriptstyle E^{\prime }}$ dans ℝ définie par ${\displaystyle p_{v}(f)=|f(v)|}$. Cette application ${\displaystyle p_{v}}$ est une semi-norme sur ${\displaystyle \scriptstyle E^{\prime }}$. La topologie d'espace localement convexe définie par cette famille de semi-normes s'appelle la topologie faible du dual. C'est la topologie la moins fine rendant continues les applications f↦f(v).

Par construction, cette topologie sur E' est séparée.

Si E est un espace vectoriel normé, on peut définir une norme duale[1] ║ . ║’ sur E' par

${\displaystyle \|f\|^{\prime }=\sup _{v\in E,v\neq 0}{\frac {|f(v)|}{\|v\|}}.}$

(C'est un cas particulier de la norme d'opérateur.)

E' muni de cette norme est appelé le dual fort de E. C'est un espace de Banach (cf. proposition 4 du § « Complétude » de l'article « Espace vectoriel normé »).

Il est important de remarquer que même en dimension finie, les espaces normés E et E', qui sont algébriquement isomorphes, ne sont pas isométriques en général. Par exemple, sur ℝⁿ, les normes ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\vert x_{i}\vert }$ et ${\displaystyle \sup _{1\leq i\leq n}\vert x_{i}\vert }$ sont duales l'une de l'autre, mais ne sont pas isométriques dès que n ≥ 3.

Le théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki affirme que la boule unité fermée du dual fort d'un espace de Banach est *-faiblement compacte.

On déduit alors du théorème de Krein-Milman que si la boule unité d'un espace de Banach E n'a aucun point extrémal (par exemple si E = L¹([0, 1]) ou E = c₀, l'espace des suites de limite nulle) alors E n'est le dual d'aucun espace.

L'espace ℓ¹, lui, est le dual de c₀ et de nombreux autres espaces[2] - [3], dont celui des suites convergentes (en) ou, plus généralement, des fonctions continues sur un compact dénombrable[4].

Dans le cas d'un espace vectoriel normé E, ce qu'on appelle en général le bidual, noté E'', est le dual du dual fort.

Il existe une application naturelle de E dans son bidual, l'application d'évaluation

${\displaystyle J:E\rightarrow E''\qquad \forall x\in E,\,\forall \ell \in E',\,J(x)(\ell )=\ell (x)}$

qui constitue une injection isométrique d'après le théorème de Hahn-Banach. Lorsque J est une bijection, l'espace E est dit réflexif.

Exemples : voir « Propriétés des espaces de suites ℓ^p » et « Dualité des espaces L^p ».

Théorème de Goldstine[6].

Pour tout espace vectoriel normé réel E, la boule unité de E'' est l'adhérence pour la topologie σ(E'', E') (la topologie faible-* sur E'') de l'image par J de la boule unité de E.

• Application linéaire non continue (en)
• Dual d'un espace vectoriel topologique

Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]