Théorème de Krein-Milman

La démonstration est une récurrence sur la dimension du convexe. Le résultat est évident pour un singleton ; supposons désormais le résultat vrai pour tous les convexes de dimension strictement inférieure à un entier fixé ${\displaystyle k}$, et soit ${\displaystyle C}$ un convexe de dimension ${\displaystyle k}$.

Quitte à remplacer l'espace ambiant par l'enveloppe affine de ${\displaystyle C}$, on peut supposer que c'est un espace affine dont la dimension est également ${\displaystyle k}$.

Prenons maintenant un point ${\displaystyle m}$ de ${\displaystyle C}$ et montrons qu'il est dans l'enveloppe convexe des points extrémaux. Pour ce faire, on trace une droite ${\displaystyle D}$ passant par ${\displaystyle m}$. L'ensemble ${\displaystyle C\cap D}$ est alors un convexe de ${\displaystyle D}$, compact par l'hypothèse de compacité faite sur ${\displaystyle C}$. Il est donc de la forme ${\displaystyle [a,b]}$, où ${\displaystyle m\in [a,b]}$.

Maintenant ${\displaystyle a}$ comme ${\displaystyle b}$ sont adhérents au complémentaire de ${\displaystyle C}$, ce sont donc des points frontières de ce convexe. Il existe donc des hyperplans d'appui ${\displaystyle H_{a}}$ et ${\displaystyle H_{b}}$ en ces points. Introduisons les convexes ${\displaystyle C_{a}=C\cap H_{a}}$ et ${\displaystyle C_{b}=C\cap H_{b}}$.

On remarque alors que tout point extrémal de ${\displaystyle C_{a}}$ (rep. ${\displaystyle C_{b}}$) est encore un point extrémal de ${\displaystyle C}$. Soit en effet ${\displaystyle c}$ un tel point extrémal de ${\displaystyle C_{a}}$, puis ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ deux points de ${\displaystyle C\setminus \{c\}}$. Si l'un au moins des deux points ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ n'est pas dans ${\displaystyle H_{a}}$, vu le caractère séparant de cet hyperplan, tout le segment ouvert ${\displaystyle ]x,y[}$ reste dans un seul demi-espace ouvert délimité par ${\displaystyle H_{a}}$ et évite donc ${\displaystyle c}$ ; si ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ sont tous les deux sur ${\displaystyle H_{a}}$, c'est la convexité de ${\displaystyle C_{a}\setminus \{c\}}$ qui assure que ${\displaystyle [x,y]}$ évite ${\displaystyle c}$. Dans tous les cas le segment ${\displaystyle [x,y]}$ est donc bien tout entier dans ${\displaystyle C\setminus \{c\}}$ et ${\displaystyle c}$ est donc extrémal dans ${\displaystyle C.}$

Par ailleurs, comme ${\displaystyle H_{a}}$ et ${\displaystyle H_{b}}$ sont de dimension ${\displaystyle k-1}$, les deux convexes ${\displaystyle C_{a}}$ et ${\displaystyle C_{b}}$ sont de dimension strictement inférieure à ${\displaystyle k}$. On peut donc leur appliquer l'hypothèse de récurrence. Ceci montre que ${\displaystyle a}$ (resp. ${\displaystyle b}$) est combinaison linéaire de points extrémaux de ${\displaystyle C_{a}}$ (resp. ${\displaystyle C_{b}}$), donc de points extrémaux de ${\displaystyle C}$. Tant ${\displaystyle a}$ que ${\displaystyle b}$ appartient donc à l'enveloppe convexe de ces points extrémaux, puis à son tour ${\displaystyle m}$ puisqu'il est sur le segment ${\displaystyle [a,b]}$.