Adhérence (mathématiques)

Dans un espace métrique, l'adhérence d'une partie est l'ensemble des points à distance nulle de cette partie. Autrement dit, l'adhérence d'un ensemble ${\displaystyle A\neq \varnothing }$ est l'intersection des voisinages ${\displaystyle V_{r}(A)}$ de ${\displaystyle A}$[4].

Dans un espace métrique, l'adhérence de toute boule ouverte est incluse dans la boule fermée de même centre et de même rayon. Dans un espace vectoriel normé muni de la distance ║x – y║, on a égalité. Mais dans un espace métrique quelconque, l'inclusion peut être stricte. Par exemple pour la topologie discrète sur un ensemble E, toute partie est égale à son adhérence. Or cette topologie est induite par la distance discrète (définie par : d(x, y) = 1 si x ≠ y, et d(x, x) = 0), pour laquelle les boules ouvertes de rayon 1 sont les singletons, tandis que toute boule fermée de rayon 1 est égale à E.

Pour deux parties X et Y de E complémentaires l'une de l'autre, l'adhérence de Y et l'intérieur de X sont complémentaires l'un de l'autre.

En effet[5], l'intérieur de X est l'union des ouverts inclus dans X donc son complémentaire est l'intersection des fermés contenant Y.

Si Y est un sous-espace de E (muni de la topologie induite) et X une partie de Y, l'adhérence de X dans ce sous-espace est égale à X∩Y.

Dans un espace produit ∏_i∈I E_i, l'adhérence d'un produit ∏_i∈I X_i de parties X_i ⊂ E_i est égale au produit ∏_i∈I X_i des adhérences de ces parties[6].

• L'adhérence d'une intersection est incluse dans l'intersection des adhérences mais l'inclusion peut être stricte, même pour une intersection finie[5]. Par exemple dans ℝ, l'adhérence de ]–∞, 0[∩]0, +∞[ est ∅, tandis que l'intersection des adhérences est ]–∞, 0]∩[0, +∞[ = {0}.
• Puisque l'adhérence est un opérateur de clôture (voir supra), une union d'adhérences est incluse dans l'adhérence de l'union[5].
  L'inclusion peut être stricte. Par exemple dans ℝ, l'union de la suite de singletons {1/(n+1)} (fermés donc égaux à leurs adhérences) ne contient pas le point 0, qui est point adhérent.
  Pour une union finie, on a cependant égalité. En effet[5], X∪Y est un fermé contenant X∪Y donc contenant X∪Y.

Un point x de E est adhérent à X si et seulement si tout voisinage de x rencontre X[1], autrement dit : tout ouvert contenant x rencontre X.

En effet[1] - [7], x n'appartient pas à X si et seulement si [il existe un fermé contenant X et pas x, c'est-à-dire si] il existe un ouvert contenant x et disjoint de X.

Dans un espace E quelconque, l'adhérence d'une partie X contient toujours la fermeture séquentielle de X, c'est-à-dire que toute limite d'une suite d'éléments de X appartient à l'adhérence de X.

Un espace de Fréchet-Urysohn est un espace dans lequel, réciproquement, tout point adhérent à une partie X est limite d'une suite à valeurs dans X. Les espaces métrisables (i.e. dont la topologie est issue d'une distance), et plus généralement les espaces à bases dénombrables de voisinages, en sont des exemples.

Considérons l'ensemble ℕ des entiers naturels. On y définit une topologie (via des fermés) de la façon suivante :

• un ensemble fini d'entiers non nuls est fermé ;
• l'espace entier est fermé.

Dans cet espace, 0 est générique.

N.B. : en géométrie algébrique, ce genre de situation est très courant, car l'espace de base, le spectre d'anneau, vérifie souvent ce genre de propriétés ; en fait, cet exemple est homéomorphe à Spec(ℤ) par simple substitution des nombres premiers aux entiers non nuls.