Espace métrique

Par souci de simplicité, un espace métrique sera parfois désigné uniquement par l'ensemble ${\displaystyle E}$ et non par le couple ${\displaystyle (E,d)}$ lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté sur la distance sous-jacente ${\displaystyle d}$.

• Pour toute partie non vide A de E, l'application qui à tout point x de E associe la distance de x à A (c'est-à-dire l'inf des distances de x à tous les points de A) est continue car 1-lipschitzienne. Les x en lesquels elle s'annule sont les points adhérents à A.
  • Tout espace topologique métrisable est par conséquent non seulement séparé mais parfaitement normal — donc normal — c'est-à-dire que tous les singletons sont fermés et que tout fermé F est le lieu d'annulation d'une fonction continue : l'application x ↦ d(x, F).
• En particulier, pour tout élément a de E, l'application x ↦ d(x, a) est 1-lipschitzienne. On en déduit que :
  • toute boule fermée B_f(a, r) est un fermé pour la topologie associée à la distance (comme image réciproque, par cette application, du fermé [0, r]). L'adhérence B(a, r) de B(a, r) est donc incluse dans B_f(a, r), mais parfois strictement : voir les articles « Boule (mathématiques) » et « Distance ultramétrique ».
  • l'application d est 2-lipschitzienne, sur l'espace produit E×E muni de la distance d_∞ définie par d_∞((x₁, x₂), (y₁, y₂)) = max(d(x₁, y₁), d(x₂, y₂)).
• Sur toute partie A de E, la topologie induite coïncide avec celle définie par la restriction de la distance. En effet, elles possèdent toutes les deux comme base de voisinages d'un point x de A l'intersection avec A des boules ouvertes de centre x.
• Un espace métrique est dit propre si toutes ses boules fermées sont compactes. Tout espace métrique propre est localement compact mais la réciproque est fausse (penser à la distance discrète sur un ensemble infini).

• Une norme N sur un espace vectoriel réel ou complexe[4] induit de manière naturelle une distance d(x, y) = N(x – y).
• Diverses distances usuelles sur ℝⁿ sont déduites d'une norme, ainsi, par exemple :
  • (pour n = 1) la distance usuelle sur l'ensemble des réels est celle associée à la valeur absolue ;
  • (pour n = 2) la distance de Manhattan sur le plan ℝ² : d(a, b) = |x_b – x_a| + |y_b – y_a|. C'est la distance induite par la norme 1 ;
  • (pour n = 2) la distance aux échecs permet de connaître le nombre minimum de coups au jeu d'échecs pour aller avec le roi d'une case a = (x_a, y_a) à une case b = (x_b, y_b) et se définit par : d(a, b) = max(|x_b – x_a|, |y_b – y_a|) ;
• Le module de la différence entre deux nombres complexes est une distance[5].
• La distance triviale (ou encore distance discrète ou métrique discrète) est définie sur tout ensemble par : d(x, y) = 1 si x ≠ y et d(x, x) = 0. La topologie associée est la topologie discrète.
• La distance de Hamming est utilisée en théorie des codes correcteurs.
• Les espaces topologiques ℝ et ]0, 1[ sont homéomorphes mais, munis de la distance usuelle, ils ne sont pas isomorphes en tant qu'espaces métriques ; par exemple, ℝ est complet mais ]0, 1[ ne l'est pas.
• Si l'on munit ℝ⁺ de la distance d(x, y) = |e^x – e^y|, on retrouve la topologie usuelle sur ℝ⁺ mais maintenant toutes les fonctions polynomiales sont uniformément continues.

Tout produit fini ou dénombrable d'espaces métriques peut être muni d'une distance qui induit la structure uniforme produit et a fortiori la topologie produit : pour cela, si les (E_k, d_k) (k∈ℕ) sont des espaces métriques, on peut par exemple munir E₁×…×E_n de la distance d_N définie par

${\displaystyle d_{N}{\Big (}(x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n}){\Big )}=N{\Big (}d_{1}(x_{1},y_{1}),\ldots ,d_{n}(x_{n},y_{n}){\Big )},}$

où N est une norme ℓ^p arbitraire sur ℝⁿ (ou toute autre norme croissante sur (ℝ⁺)ⁿ pour l'ordre produit) et munir E = ∏_k∈ℕE_k de la distance d définie par

${\displaystyle d(x,y)=\sup _{k\in \mathbb {N} }{\frac {d_{k}(x_{k},y_{k})}{2^{k}}},}$

où chaque distance sur E_k est au préalable remplacée si nécessaire par une distance topologiquement équivalente d_k majorée par une constante indépendante de k. On vérifie facilement[6] que d_N et d sont bien des distances sur les ensembles correspondants et que les topologies qu'elles définissent sur ces ensembles coïncident avec les topologies produit (les calculs montrent même que non seulement les deux topologies coïncident, mais aussi les deux structures uniformes dont elles sont issues, sous réserve d'avoir choisi, dans le remplacement préalable des d_k, des distances équivalentes uniformément et pas seulement topologiquement)[7].

Si chaque d_k est la distance discrète, ce choix de d donne : si x ≠ y, d(x, y) = 2^–k où k est le plus petit n tel que x_n ≠ y_n. Des exemples sont l'espace de Baire et les anneaux topologiques de séries formelles.

En revanche, un produit non dénombrable d'espaces topologiques non grossiers n'est jamais métrisable, ni même séquentiel.

En comparant deux espaces métriques il est possible de distinguer différents degrés d'équivalence. Pour préserver au moins la structure topologique induite par la métrique, une fonction continue entre les deux est requise.

Deux espaces métriques (M₁, d₁) et (M₂, d₂) sont dits :

• topologiquement isomorphes (ou homéomorphes) s'il existe un homéomorphisme entre eux ;
• uniformément isomorphes s'il existe entre eux une bijection uniformément continue dont la réciproque est uniformément continue.
• Lipschitz-équivalents s'il existe une bijection de l'un sur l'autre qui est lipschitzienne ainsi que son application réciproque.
• isométriquement isomorphes s'il existe une isométrie bijective entre eux. Dans ce cas les deux espaces sont essentiellement identiques. Une isométrie est une fonction f : M₁ → M₂ qui préserve les distances : d₂(f(x), f(y)) = d₁(x, y) pour tout x, y dans M₁. Les isométries sont forcément injectives.
• semblables s'il existe une constante positive k > 0 et une bijection f : M₁ → M₂, appelée similitude, telle que d₂(f(x), f(y)) = k d₁(x, y) pour tout x, y dans M₁.
• similaires s'il existe une bijection f : M₁ → M₂, appelée similarité, telle que d₂(f(x), f(y)) = d₂(f(u), f(v)) si et seulement si d₁(x, y) = d₁(u, v) pour tous x, y, u, v dans M₁.

Deux espaces euclidiens similaires sont nécessairement homéomorphes, donc de même dimension et par conséquent isométriques.

On dit qu'un espace topologique est métrisable s'il existe une distance qui engendre sa topologie. Voici quelques exemples d'espaces métrisables :

Exemples d'espaces métrisables

Ensemble	Topologie	Distance engendrant la topologie
droite réelle ${\displaystyle \mathbb {R} }$	topologie usuelle engendrée par les intervalles ouverts ${\displaystyle \left]a,b\right[}$	distance associée à la valeur absolue
plan complexe ${\displaystyle \mathbb {C} }$	topologie engendrée par les rectangles ouverts ${\displaystyle \{a<{\mathfrak {Re}}(z)<b\}\cap \{c<{\mathfrak {Im}}(z)<d\}}$	distance associée au module complexe
${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$	topologie engendrée par les pavés ouverts ${\displaystyle \prod _{i=1}^{d}\left]a_{i},b_{i}\right[}$	distance euclidienne
droite réelle achevée ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$	topologie engendrée par les ensembles de la forme ${\displaystyle \left]a,+\infty \right]}$ ou ${\displaystyle \left[-\infty ,a\right[}$ où ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$	${\displaystyle d(x,y)=|\arctan(x)-\arctan(y)|}$ avec pour convention que ${\displaystyle \arctan(\pm \infty )=\pm \,\pi /2}$
Mesures de probabilités ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{1}(X)}$ sur un espace mesurable ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}}(X))}$ où ${\displaystyle X}$ est métrisable et séparable et où ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$ désigne la tribu borélienne[8]	unique topologie telle qu'une base de voisinages d'une mesure ${\displaystyle \mu }$ est donnée par les ensembles ${\displaystyle \{\nu \in {\mathcal {M}}^{1}(X)\,|\,\forall 1\leq i\leq n,|\mu (f_{i})-\nu (f_{i})|<\varepsilon \}}$ où ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{n}}$ sont continues bornées, ${\displaystyle \varepsilon >0}$ et ${\displaystyle n\geq 1}$	distance de Lévy-Prokhorov
Espace vectoriel ${\displaystyle E}$ muni d'une famille dénombrable de semi-normes ${\displaystyle (p_{n})_{n\geq 0}}$ séparante (c'est-à-dire que ${\displaystyle p_{n}(x)=0~\forall n}$ implique que ${\displaystyle x=0}$)[9]	unique topologie telle qu'une base de voisinages d'un vecteur ${\displaystyle x}$ est donnée par les ensembles ${\displaystyle \{y\in E\,|\,\forall i\in J,\,p_{i}(x-y)<\varepsilon \}}$ où ${\displaystyle J\subset \mathbb {N} }$ est fini et ${\displaystyle \varepsilon >0}$	${\displaystyle d(x,y)=\sum _{n\geq 0}{\frac {1}{2^{n}}}\min(p_{n}(x-y),1)}$

Il existe des conditions suffisantes et équivalentes pour qu'un espace topologique soit métrisable :

• La première réellement utile est due à Urysohn ; elle dit que tout espace régulier à base dénombrable est métrisable (cette forme de la condition a en fait été prouvée par Tychonov en 1926. Ce qu'Urysohn avait trouvé, dans un article publié en 1925, était que tout espace normal à base dénombrable est métrisable). Par exemple, toute variété à base dénombrable est métrisable. Également un compact est métrisable si et seulement s'il est à base dénombrable.
• Cette condition suffisante d'Urysohn (régularité + base dénombrable) a été transformée en une condition nécessaire et suffisante (régularité + base dénombrablement localement finie) par Bing, Nagata et Smirnov.
• Smirnov a aussi prouvé qu'un espace est métrisable si et seulement s'il est paracompact et localement métrisable (un espace est dit localement métrisable si chaque point a un voisinage métrisable). En particulier, une variété est métrisable si et seulement si elle est paracompacte.