Semi-norme

Dans cet article, E désigne un espace vectoriel sur un corps commutatif K. En général, K désigne le corps des réels ou des complexes, même si la théorie s'applique dans un contexte plus général.

La semi-norme ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ est une norme si et seulement si elle vérifie la propriété supplémentaire suivante :

• séparation : ${\displaystyle \forall x\in E\quad {\mathcal {N}}(x)=0\Rightarrow x=0_{E}}$.

Deux configurations introduisent naturellement une semi-norme en analyse fonctionnelle :

1. Soient ${\displaystyle \mu }$ une mesure sur un espace mesurable ${\displaystyle \Omega }$ (par exemple : ${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} }$ muni de la tribu borélienne et ${\displaystyle \mu =}$ la mesure de Lebesgue), et ${\displaystyle p\geq 1}$ un réel (le cas le plus simple est ${\displaystyle p=1}$). L'ensemble des fonctions mesurables de Ω dans K dont le module à la puissance p est μ-intégrable est un espace vectoriel noté ℒ^p(Ω, μ). Il est naturellement muni de la semi-norme ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{p}}$ définie par :${\displaystyle \forall f\in {\mathcal {L}}^{p}(\Omega ,\mu )\quad {\mathcal {N}}_{p}(f)={\left[\int _{\Omega }|f|^{p}\mathrm {d} \mu \right]}^{1/p}}$.La propriété de séparation est absente : dès qu'une fonction est nulle sur le complémentaire d'un ensemble μ-négligeable, sa semi-norme est nulle.
2. Un deuxième exemple est un ingrédient dans la définition de la topologie faible. Soit ${\displaystyle \varphi }$ un élément du dual E* de E, c'est-à-dire une forme linéaire sur E. L'application ${\displaystyle p_{\varphi }}$ définie de la manière suivante est une semi-norme :${\displaystyle \forall x\in E\quad p_{\varphi }(x)=|\varphi (x)|}$.Cette semi-norme est nulle sur le noyau de ${\displaystyle \varphi }$ (qui est un hyperplan si ${\displaystyle \varphi \neq 0}$).

À l'instar de la norme, une semi-norme définit une topologie pour laquelle les boules ouvertes de centre un point x forment une base de voisinages de x : un ensemble O est ouvert si, pour chaque point x de O, il existe une boule ouverte non vide de centre x incluse dans O. Cette topologie est séparée si et seulement si la semi-norme vérifie la propriété de séparation, c'est-à-dire si la semi-norme est une norme.

Pour cette topologie, l'addition et la multiplication par un scalaire sont continues : on dit que l'espace vectoriel E, muni de cette topologie, est un espace vectoriel topologique. La semi-norme, elle aussi, est continue. Par ailleurs, les boules sont convexes.

Les démonstrations sont analogues à celles proposées dans l'article « Norme (mathématiques) ».

Les vecteurs de semi-norme nulle jouent un rôle particulier, qui justifie la définition suivante :

Le noyau possède des propriétés à la fois algébriques et topologiques :

En effet, un vecteur x est adhérent à ${\displaystyle \{0\}}$ (le singleton réduit au vecteur nul) si et seulement si toute boule ouverte de centre x et de rayon r > 0 contient ce vecteur nul, ce qui se traduit par : la semi-norme de x est inférieure à tout r > 0, ou encore : x appartient au noyau. Ceci prouve que le noyau est bien l'adhérence du sous-espace nul. C'est donc un sous-espace vectoriel fermé (comme l'est l'adhérence de tout sous-espace vectoriel dans un espace vectoriel topologique).

Si le corps de base est ℝ, toute semi-norme est une application sous-linéaire donc convexe.

La somme de deux semi-normes est une semi-norme. Il en est de même pour le produit d'une semi-norme par un réel positif. Autrement dit :

L'ensemble des semi-normes sur un espace E est un cône convexe pointé de l'espace des applications de E dans ℝ.

Une famille ${\displaystyle (p_{i})_{i\in I}}$ de semi-normes sur ${\displaystyle E}$ est dite filtrante si toute sous-famille finie ${\displaystyle (p_{j})_{j\in J}}$ est majorée par l'une des semi-normes ${\displaystyle p_{i}}$.

Par exemple, la famille de semi-normes ${\displaystyle (p_{\varphi })_{\varphi \in E^{*}}}$ définie dans l'exemple 2 ci-dessus n'est pas filtrante.

Cependant, pour toute famille ${\displaystyle (p_{i})_{i\in I}}$ de semi-normes sur ${\displaystyle E}$, la famille suivante de semi-normes est filtrante :

${\displaystyle (p_{J})_{J{\text{ fini }}\subset I}}$, où ${\displaystyle p_{J}}$ est la semi-norme ${\displaystyle x\mapsto \max _{j\in J}{p_{j}(x)}}$.

Soit ${\displaystyle (p_{i})_{i\in I}}$ une famille filtrante de semi-normes (on peut toujours se ramener au cas filtrant, par la procédure ci-dessus). Alors, les ensembles suivants forment une famille de bases de voisinages définissant une topologie sur ${\displaystyle E}$, qui fait de ${\displaystyle E}$ un espace vectoriel topologique (un tel espace est appelé un espace localement convexe) :

On prend, comme base de voisinages de chaque vecteur ${\displaystyle x}$, la famille, indexée par ${\displaystyle i\in I}$ et ${\displaystyle R>0}$, des ensembles (appelés « p-boules ») :

${\displaystyle \beta (x,i,R):=\{y\in E\mid p_{i}(y-x)<R\}}$.

Autrement dit : les voisinages de ${\displaystyle x}$ sont les ensembles contenant au moins une « p-boule » de centre ${\displaystyle x}$.