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Application sous-linéaire

Soit un espace vectoriel sur ℝ. On dit qu'une application est sous-linĂ©aire[1] lorsque :

  • pour tous vecteurs et de , (on dit que est sous-additive),
  • pour tout vecteur et tout , [2] (on dit que est positivement homogĂšne[3]).
Illustration de la fonction f(x)={43xx≄012xx<0{\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\tfrac {4}{3}}\,x&x\geq 0\\{\tfrac {1}{2}}\,x&x<0\end{cases}}}

Une application sous-linéaire est aussi dénommée pseudo-jauge en analyse fonctionnelle.

Les applications sous-linéaires sont convexes.

Comme exemples d'applications sous-linéaires, citons les semi-normes ou, plus généralement, toute jauge d'un convexe contenant l'origine. Une jauge est une pseudo-jauge à valeurs positives.

Notes et références

  1. Cf. (en) Eric Schechter, Handbook of Analysis and Its Foundations, Academic Press, (lire en ligne), p. 313-314. Dans le cas particulier , on trouve une définition équivalente dans (en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty et Claude Lemaréchal, Fundamentals of Convex Analysis, Springer, coll. « Grundlehren Text Editions », (1re éd. 2001) (ISBN 978-3-540-42205-1), p. 124 et dans (en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty et Claude Lemaréchal, Convex Analysis and Minimization Algorithms I: Fundamentals, Springer, coll. « Grundlehren Text Editions », (ISBN 3-540-56850-6), p. 198.
  2. Pour (avec la convention ), cette condition implique .
  3. Ou « positivement homogĂšne de degrĂ© 1 Â».
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