Fonction convexe

Définition — Une fonction ${\displaystyle f}$ d'un intervalle réel ${\displaystyle I}$ vers ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est dite convexe lorsque, pour tous ${\displaystyle x_{1}}$ et ${\displaystyle x_{2}}$ de ${\displaystyle I}$ et tout ${\displaystyle t}$ dans ${\displaystyle [0;1]}$ on a :

${\displaystyle f(t\,x_{1}+(1-t)\,x_{2})\leq t\,f(x_{1})+(1-t)\,f(x_{2}).}$

Cela signifie que pour tout ${\displaystyle x_{1}}$ et ${\displaystyle x_{2}}$ de ${\displaystyle I}$, le segment ${\displaystyle [A_{1},A_{2}]}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, où ${\displaystyle A_{1}=(x_{1},f(x_{1}))}$ et ${\displaystyle A_{2}=(x_{2},f(x_{2}))}$, est situé au-dessus de la courbe représentative de ${\displaystyle f}$.

Une fonction concave est une fonction dont la fonction opposée est convexe.

On vérifie aussitôt ce qui suit, reliant les notions d'ensemble convexe et de fonction convexe :

Exemple

La fonction ${\displaystyle x\to |x|}$ est convexe, parce que son épigraphe est un quart de plan (lui-même convexe comme intersection de deux demi-plans). Il est souvent malcommode de vérifier la convexité d'une fonction définie par une formule concrète à partir de la seule définition, on attendra donc quelques paragraphes pour donner d'autres exemples, lorsqu'on disposera d'un critère de convexité plus utilisable en pratique.

La définition de la convexité fait apparaître des barycentres où les coefficients sont des réels arbitraires de ${\displaystyle [0;1]}$. Lorsqu'on ne fait porter l'hypothèse que sur les milieux, elle s'étend aux isobarycentres :

Lemme[1] — Si une fonction ${\displaystyle f}$ vérifie la condition suivante pour ${\displaystyle p=2}$, alors elle la vérifie pour tout entier ${\displaystyle p\geq 2}$ :

${\displaystyle \forall x_{1},\cdots ,x_{p}\in I\quad f\left({\frac {x_{1}+\cdots +x_{p}}{p}}\right)\leq {\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{p})}{p}}.}$

Démonstration[2]

Le « principe de récurrence alternatif » suivant démontre ce lemme.

• Si la condition est vraie pour ${\displaystyle p}$ alors elle l'est pour ${\displaystyle 2p}$ car

${\displaystyle {\begin{aligned}f\left({\frac {x_{1}+\cdots +x_{2p}}{2p}}\right)&=f\left({\frac {{\frac {x_{1}+\cdots +x_{p}}{p}}+{\frac {x_{p+1}+\cdots +x_{2p}}{p}}}{2}}\right)\\&\leq {\frac {f\left({\frac {x_{1}+\cdots +x_{p}}{p}}\right)+f\left({\frac {x_{p+1}+\cdots +x_{2p}}{p}}\right)}{2}}\\&\leq {\frac {{\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{p})}{p}}+{\frac {f(x_{p+1})+\cdots +f(x_{2p})}{p}}}{2}}\\&={\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{2p})}{2p}}.\end{aligned}}}$

• Si elle l'est pour ${\displaystyle p+1}$ alors elle l'est pour ${\displaystyle p}$ car en posant

${\displaystyle x_{p+1}={\frac {x_{1}+\cdots +x_{p}}{p}},}$

on obtient

${\displaystyle f(x_{p+1})=f\left({\frac {x_{1}+\cdots +x_{p+1}}{p+1}}\right)\leq {\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{p+1})}{p+1}},}$

c'est-à-dire

${\displaystyle f(x_{p+1})\leq {\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{p})}{p}}.}$

En ajoutant une hypothèse supplémentaire de régularité[3] de ${\displaystyle f}$, on obtient :

Proposition[4] — Une fonction ${\displaystyle f}$ continue sur ${\displaystyle I}$ est convexe sur ${\displaystyle I}$ si (et seulement si) quels que soient les éléments ${\displaystyle x_{1}}$ et ${\displaystyle x_{2}}$ de ${\displaystyle I}$ :

${\displaystyle f\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\right)\leq {\frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2}}.}$

Démonstration[5]

Grâce au lemme, on a

${\displaystyle \forall x,y\in I\quad f\left(tx+(1-t)y\right)\leq tf(x)+(1-t)f(y)}$

pour tout rationnel ${\displaystyle t}$ dans ${\displaystyle [0;1]}$ donc (par densité) pour tout ${\displaystyle t}$ dans ${\displaystyle [0;1]}$.

L'inégalité de la définition s'étend comme suit (on peut le démontrer par récurrence sur l'entier ${\displaystyle p}$[6] ou par le même argument que dans la proposition ci-dessus[7]. On dénomme parfois cette version l'inégalité de Jensen :

Proposition — Si ${\displaystyle f}$ est convexe sur ${\displaystyle I}$ et si ${\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{p}}$ sont des points de ${\displaystyle I}$ et ${\displaystyle t_{1},\cdots ,t_{p}}$ des réels positifs ou nuls tels que ${\displaystyle t_{1}+\cdots +t_{p}=1}$, alors :

${\displaystyle f(t_{1}\,x_{1}+\cdots +t_{p}\,x_{p})\leq t_{1}\,f(x_{1})+\cdots +t_{p}\,f(x_{p}).}$

On appelle parfois « lemme des trois cordes » ou « inégalité des pentes » voire « inégalité des trois pentes » le résultat suivant[8] :

Proposition[9] — Si ${\displaystyle f}$ est convexe sur ${\displaystyle I}$ pour tous points ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$ et ${\displaystyle x_{3}}$ de ${\displaystyle I}$ avec ${\displaystyle x_{1}<x_{2}<x_{3}}$ :

${\displaystyle {\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\leq {\frac {f(x_{3})-f(x_{1})}{x_{3}-x_{1}}}\leq {\frac {f(x_{3})-f(x_{2})}{x_{3}-x_{2}}}}$

Réciproquement, si l'une des deux inégalités est vérifiée pour tous ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$ et ${\displaystyle x_{3}}$ de ${\displaystyle I}$ avec ${\displaystyle x_{1}<x_{2}<x_{3}}$, alors ${\displaystyle f}$ est convexe.

Le « lemme des trois cordes » permet de montrer que[10] :

On peut préciser les deux premiers points par[11] : une fonction ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ définie sur un intervalle ouvert ${\displaystyle I}$ est convexe si et seulement si ${\displaystyle f_{g}'}$ et ${\displaystyle f_{d}'}$ sont définies et croissantes sur ${\displaystyle I}$.

On démontre par ailleurs (voir infra) que ${\displaystyle f}$ est aussi localement lipschitzienne.

La fonction ${\displaystyle x\mapsto x^{3}}$ est convexe sur ℝ₊ et concave sur ℝ_–.

On dispose de deux caractérisations[12] :

On déduit de la seconde caractérisation :

• que toute fonction convexe et dérivable (sur un intervalle réel) est de classe C¹[13] ;
• le corollaire suivant, fort pratique pour vérifier sans mal la convexité d'exemples spécifiques :

Ainsi, on peut désormais facilement ajouter à sa collection de fonctions convexes (ou concaves) les exemples suivants :

• la fonction puissance ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}\to \mathbb {R} ,\,x\mapsto x^{a}}$ est concave si ${\displaystyle 0<a<1}$ et convexe sinon ;
• pour tout entier positif ${\displaystyle n}$, la fonction ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,x\mapsto x^{n}}$ est convexe si ${\displaystyle n}$ est pair (si ${\displaystyle n}$ est impair, elle est convexe sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ et concave sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$) ;
• la fonction ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\to \exp(x)}$ est convexe ;
• la fonction ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}\to \mathbb {R} ,x\to \ln(x)}$ est concave.

En faisant intervenir des inégalités strictes, on dispose d'une variante de la convexité : la stricte convexité.

Définition — Une fonction ${\displaystyle f}$ d'un intervalle ${\displaystyle I}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ vers ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est dite strictement convexe lorsque, pour tous ${\displaystyle x_{1}}$ et ${\displaystyle x_{2}}$ distincts dans ${\displaystyle I}$ et tout ${\displaystyle t}$ dans ${\displaystyle ]0;1[}$, on a :

${\displaystyle f(t\,x_{1}+(1-t)\,x_{2})<t\,f(x_{1})+(1-t)\,f(x_{2}).}$

Les résultats énoncés plus haut pour des fonctions convexes s'adaptent généralement sans mal aux fonctions strictement convexes.

De même que les fonctions dérivables convexes sont celles qui ont une dérivée croissante, les fonctions dérivables strictement convexes sont celles qui ont une dérivée strictement croissante.

D'après le lien entre monotonie et signe de la dérivée, une fonction ${\displaystyle f}$ deux fois dérivable est donc strictement convexe si et seulement si ${\displaystyle f''}$ est positive et ne s'annule que sur un ensemble d'intérieur vide.

Exemple

${\displaystyle x\to x^{4}}$ est strictement convexe (sa dérivée seconde est positive et ne s'annule qu'en 0.

On peut donner au moins deux définitions légèrement différentes d'une fonction convexe de plusieurs variables réelles (ou plus généralement : d'une variable vectorielle), qui reviennent essentiellement au même mais ne fournissent néanmoins pas exactement les mêmes fonctions. On prendra donc garde au contexte lors d'une invocation d'une de ces définitions pour comprendre s'il s'agit ou non de fonctions susceptibles de prendre des valeurs infinies.

Définition 1 — Soient ${\displaystyle E}$ un espace vectoriel (ou affine) réel et ${\displaystyle C}$ un convexe de ${\displaystyle E}$. On dit qu'une fonction

${\displaystyle f:C\to \mathbb {R} }$

est convexe lorsque

pour tous ${\displaystyle x_{1}}$ et ${\displaystyle x_{2}}$ de ${\displaystyle C}$

et tout ${\displaystyle t}$ dans [0 ; 1], on a : ${\displaystyle f(tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2})}$.

Autrement dit : ${\displaystyle f}$ est convexe si sa « restriction » ${\displaystyle t\to f(tA+(1-t)B)}$ à tout segment ${\displaystyle [A,B]\subset C}$ est une fonction convexe de la variable réelle ${\displaystyle t\in [0;1]}$ (voir supra)[15].

Définition 2 — Soit ${\displaystyle E}$ un espace vectoriel (ou affine) réel. On dit qu'une fonction${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ est convexe lorsque pour tous ${\displaystyle x_{1}}$ et ${\displaystyle x_{2}}$ de Domaine effectif ${\displaystyle {\text{dom}}f}$${\displaystyle$ :=\{x\in E\mid f(x)<+\infty \}}

et tout ${\displaystyle t}$ dans [0 ; 1], on a : ${\displaystyle f(tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2})}$.

Étant donné une fonction convexe au sens de la définition 1, on peut lui associer une fonction convexe au sens de la définition 2 en la prolongeant hors de ${\displaystyle C}$ par la valeur ${\displaystyle +\infty }$ ; réciproquement, étant donné une fonction convexe ${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ au sens de la définition 2, l'ensemble ${\displaystyle C:={\text{dom}}f}$ est un convexe et la restriction de ${\displaystyle f}$ à ${\displaystyle C}$ est une fonction convexe au sens de la définition 1. Les deux transformations sont réciproques l'une de l'autre : les deux définitions, quoique techniquement distinctes, décrivent bien la même notion.

Certaines sources requièrent de plus que ${\displaystyle C}$ soit non vide (dans la définition 1) ou que ${\displaystyle f}$ ne soit pas la constante ${\displaystyle +\infty }$ (dans la définition 2) pour prévenir certaines exceptions désagréables dans quelques énoncés. Une telle fonction de ${\displaystyle E}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ est dite propre[16].

La définition 2 est plus récente que la définition 1 et fut introduite indépendamment par Rockafellar et Moreau[17]. Elle permet de définir une fonction convexe comme un seul « objet » (une fonction définie sur un espace vectoriel ayant une propriété bien particulière) et non comme un couple formé d'un ensemble convexe d'un espace vectoriel et d'une fonction à valeurs réelles définie sur cet ensemble convexe. La définition 2 est la plus communément utilisée en analyse convexe, pour les raisons suivantes : d'une part, elle allège souvent l'expression des résultats et, d'autre part, elle permet de ne pas devoir préciser le convexe sur lequel est définie une fonction convexe obtenue par l'une des constructions standards de l'analyse convexe, comme l'enveloppe supérieure, la fonction d'appui, la fonction marginale, la fonction conjuguée, la fonction duale en optimisation, etc.

Soit ${\displaystyle E}$ un espace vectoriel (ou affine) réel. On dit qu'une fonction ${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ est strictement convexe si, pour tous ${\displaystyle x_{1}}$ et ${\displaystyle x_{2}}$ distincts dans ${\displaystyle {\text{dom}}f}$ et tout ${\displaystyle t}$ dans ${\displaystyle ]0;1[}$, on a :

${\displaystyle f(t\,x_{1}+(1-t)\,x_{2})<t\,f(x_{1})+(1-t)\,f(x_{2}).}$

Soit ${\displaystyle (E,\|\cdot \|)}$ un espace normé. On dit qu'une fonction ${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ est fortement convexe, de module ${\displaystyle \alpha >0}$ si, pour tous ${\displaystyle x_{1}}$ et ${\displaystyle x_{2}}$ dans ${\displaystyle {\text{dom}}f}$ et tout ${\displaystyle t}$ dans ${\displaystyle [0;1]}$, on a :

${\displaystyle f(t\,x_{1}+(1-t)\,x_{2})\leq t\,f(x_{1})+(1-t)\,f(x_{2})-{\frac {\alpha }{2}}\,t(1-t)\|x_{1}-x_{2}\|^{2}}$

On retrouve la notion de fonction convexe lorsque ${\displaystyle \alpha =0}$.

Voici quelques exemples de constructions de fonctions convexes :

• produit d'une fonction convexe par un réel positif ;
• somme de deux fonctions convexes (de plus, si ${\displaystyle f}$ est strictement convexe et ${\displaystyle g}$ est convexe alors ${\displaystyle f+g}$ est strictement convexe) ;
• exponentielle d'une fonction convexe ou plus généralement, fonction composée ${\displaystyle g\circ f}$ d'une fonction réelle convexe croissante ${\displaystyle g}$ par une fonction convexe ${\displaystyle f}$[18] ;
• fonction convexe polyédrique ;
• fonction d'appui d'un ensemble et plus généralement :
  • fonction sous-linéaire,
  • fonction conjuguée d'une fonction de ${\displaystyle E}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ;
• fonction indicatrice d'un ensemble convexe ;
• fonction marginale dont les valeurs sont obtenues en minimisant une seconde fonction paramétrée par ses arguments.

Voici des exemples concrets de fonctions convexes ou concaves :

• les applications à la fois convexes et concaves sont les applications affines ;
• une forme quadratique ${\displaystyle x\to B(x,x)}$, associée à une forme bilinéaire symétrique ${\displaystyle B}$, est convexe si, et seulement si ${\displaystyle B}$ est positive. Elle est strictement convexe si et seulement si ${\displaystyle B}$ est définie positive ;
• la fonction log-det : ${\displaystyle X\to \ln \det X}$ sur le convexe des matrices définies positives (dans l'espace des matrices symétriques réelles d'ordre ${\displaystyle n}$) est concave.

Pour tout espace vectoriel topologique ${\displaystyle E}$ de dimension infinie, il existe des fonctions convexes de domaine ${\displaystyle E}$ qui ne sont pas continues : par exemple les formes linéaires non continues sur ${\displaystyle E}$.

Cependant, une proportion significative de résultats valables pour des fonctions convexes d'une variable se reproduisent à l'identique pour des fonctions convexes sur une partie d'un espace vectoriel, soit qu'on se ramène pour les prouver à considérer la restriction de la fonction à une droite, soit que la démonstration soit une simple révision de la version à une variable. En voici quelques-unes :

• une fonction convexe est une fonction dont l'épigraphe est convexe[19] ;
• dans un espace vectoriel topologique, une fonction qui vérifie l'inégalité de convexité pour les seuls milieux et qui est continue est convexe ;
• une fonction convexe vérifie l'inégalité de Jensen.

La technique de minoration des fonctions convexes par des fonctions affines est une variante adaptée à l'analyse de l'utilisation des hyperplans d'appui en géométrie convexe. La forme analytique du théorème de Hahn-Banach permettrait de minorer directement une fonction convexe définie (et à valeurs finies) sur la totalité de son espace de départ. En revanche, dès que la fonction n'est pas définie partout, il faut poser quelques restrictions techniques[20].

On verra un peu plus bas que l'hypothèse de continuité est superflue en dimension finie (c'est une conséquence de la convexité). En revanche, la condition topologique sur ${\displaystyle U}$ est indispensable, même en une seule variable : pour la fonction convexe ${\displaystyle f(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}}}$ sur ${\displaystyle [-1;1]}$ (dont le graphe est un demi-cercle) et ${\displaystyle x_{0}=1}$, on ne peut trouver de fonction affine minorante au sens de la proposition précédente.

Voici un premier résultat permettant de reconnaître la convexité d'une fonction au moyen de ses dérivées premières. On note ${\displaystyle f'(x)\in {\mathcal {L}}(E,\mathbb {R} )}$ la forme linéaire continue qu'est la différentielle de ${\displaystyle f}$ au point ${\displaystyle x}$. Le point 2 ci-dessous signifie que l'approximation affine de ${\displaystyle f}$ en tout point ${\displaystyle x}$ est une minorante de ${\displaystyle f}$ ; le point 3 exprime la monotonie de la dérivée.

Un résultat analogue permet de caractériser la stricte convexité d'une fonction. Il suffit de remplacer les inégalités ci-dessus par des inégalités strictes et de supposer que les points d'évaluation ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ diffèrent.

En dimension finie, les inégalités ci-dessus peuvent être renforcées[21].

Stricte convexité et dérivées premières II — Soient ${\displaystyle E}$ un espace vectoriel de dimension finie, ${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }$ une fonction de classe C¹ et ${\displaystyle t\in ]0;1[}$. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes :

1. ${\displaystyle f}$ est strictement convexe ;
2. pour tout ${\displaystyle \beta >0}$, il existe une fonction ${\displaystyle g_{\beta }:[0,2\beta ]\to \mathbb {R} _{+}}$ continue, strictement croissante, vérifiant ${\displaystyle g_{\beta }(0)=0}$ et

${\displaystyle \forall x,y\in \Omega ,\ \|x\|,\|y\|\leq \beta \$ :\ f(y)-f(x)\geq f'(x)\cdot (y-x)+(1-t)g_{\beta }(t\|y-x\|)} ;

1. pour tout ${\displaystyle \beta >0}$, il existe une fonction ${\displaystyle g_{\beta }:[0,2\beta ]\to \mathbb {R} _{+}}$ continue, strictement croissante, vérifiant ${\displaystyle g_{\beta }(0)=0}$ et
   ${\displaystyle \forall x,y\in \Omega ,\ \|x\|,\|y\|\leq \beta \$ :\ (f'(y)-f'(x))\cdot (y-x)\geq g_{\beta }(\|y-x\|)} .

On peut enfin caractériser la forte convexité au moyen des dérivées premières.

On note ${\displaystyle f''(x)\in {\mathcal {L}}_{2}(E,\mathbb {R} )}$ la forme bilinéaire continue et symétrique qu'est la différentielle seconde de ${\displaystyle f}$ au point ${\displaystyle x}$.

Rappelons que la réciproque du second point est fausse (voir supra).

Comme en dimension 1, une fonction convexe définie sur un ouvert de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ est forcément continue en tout point de l'ouvert. La démonstration va nous donner une information plus précise[22] :

En dimension > 1, l'ensemble négligeable des points où ${\displaystyle f}$ n'est pas dérivable peut avoir la puissance du continu : considérer par exemple[23] l'application convexe ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,\ (x,y)\mapsto \max(x,0)}$.

À une variable, sur un intervalle non ouvert, on a vu qu'une fonction convexe n'était pas nécessairement continue.

Néanmoins il est possible de la rendre continue par un procédé simple : si ${\displaystyle f}$ est convexe sur un intervalle ${\displaystyle [a,b]}$, alors nécessairement la limite à droite ${\displaystyle f^{+}(a)}$ de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle a}$ existe et est inférieure ou égale à la valeur ${\displaystyle f(a)}$. La discontinuité de ${\displaystyle f}$ en la borne ${\displaystyle a}$ se produit alors dans le cas où ${\displaystyle f^{+}(a)<f(a)}$. On peut s'en démêler en modifiant simplement la valeur de ${\displaystyle f}$ en ce point : il suffit de la diminuer et la remplacer par ${\displaystyle f^{+}(a)}$[24].

Dès la dimension 2, les choses ne sont pas aussi confortables, comme le montre l'exemple suivant :

Soit ${\displaystyle C}$ le disque-unité fermé de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ; considérons la fonction ${\displaystyle f}$ définie sur ${\displaystyle C}$ par :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}f(x,y)&=&\displaystyle {x^{2} \over {y+1}}&{\mbox{si }}(x,y)\not =(0,-1)\\f(0,-1)&=&0.&\\\end{matrix}}\right.}$

Cette fonction ${\displaystyle f}$ est convexe. Elle est toutefois discontinue au point ${\displaystyle (0,-1)}$ mais ici la discontinuité ne peut être levée par une simple modification de la valeur ${\displaystyle f(0,-1)}$. On constate en effet que si on tend radialement vers ce point, la fonction étant nulle sur le rayon, ${\displaystyle f(0,y)}$ tend vers 0 ; mais un calcul facile permet de constater que, si on tend vers ${\displaystyle f(0,-1)}$ le long du cercle frontière de ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle f(x,y)}$ tend vers 2. Toutes les valeurs comprises entre 0 et 2 sont d'ailleurs valeurs d'adhérence de ${\displaystyle f}$ au point ${\displaystyle (0,-1)}$ et il est définitivement illusoire d'espérer rendre cette ${\displaystyle f}$ continue en modifiant ses valeurs sur le bord[25].

Toutefois, si l'ensemble de définition est un polytope, les choses se passent comme sur les intervalles de ${\displaystyle \mathbb {R} }$, comme on peut le voir en appliquant le théorème suivant[26] :

Une fois qu'on a compris qu'il est vain de vouloir modifier une fonction convexe ${\displaystyle f}$ sur la frontière de son domaine de définition jusqu'à la rendre continue, on peut néanmoins choisir un jeu de valeurs sur cette frontière plus remarquable que les autres, en exigeant que le prolongement soit à la fois semi-continu inférieurement (ce qui nécessite de choisir des valeurs faibles) et convexe (ce qui nécessite de les prendre fortes).

Pour écrire l'énoncé assez confortablement, il est ici particulièrement approprié d'utiliser des fonctions définies sur tout ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ et prenant éventuellement la valeur ${\displaystyle +\infty }$.

La fonction ${\displaystyle {\overline {f}}}$ est appelée la fermeture de ${\displaystyle f}$. Les fonctions convexes égales à leur fermeture sont appelées des fonctions convexes fermées ; dit autrement ce sont les fonctions convexes dont l'épigraphe est fermé, ou encore autrement dit ce sont les fonctions convexes semi-continues inférieurement[27].