Fonction marginale

Soient ${\displaystyle E}$ et ${\displaystyle F}$ deux ensembles et ${\displaystyle \varphi }$ une fonction de ${\displaystyle E\times F}$ dans la droite réelle achevée ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$. La fonction marginale de ${\displaystyle \varphi }$ est la fonction ${\displaystyle f:E\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ dont la valeur en ${\displaystyle x\in E}$ est la borne inférieure dans ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ de l'ensemble image ${\displaystyle \varphi (x,F)}$, ce que l'on note :

On suppose dans cette section que ${\displaystyle E}$ et ${\displaystyle F}$ sont des espaces vectoriels. On note ${\displaystyle \operatorname {Conv} (E)}$ l'ensemble des fonctions convexes propres définies sur un espace vectoriel ${\displaystyle E}$.

La fonction marginale est une enveloppe inférieure de fonctions convexes ${\displaystyle x\mapsto \varphi (x,y)}$, paramétrées par ${\displaystyle y\in F}$. On pourrait donc, à juste titre, s'étonner de sa convexité. C'est évidemment la convexité conjointe sur ${\displaystyle E\times F}$ qui permet d'avoir cette propriété.

On suppose ici que, dans la définition de la fonction marginale, ${\displaystyle E}$ et ${\displaystyle F}$ sont deux espaces euclidiens et ${\displaystyle E\times F}$ est l'espace euclidien produit.

Le sous-différentiel de ${\displaystyle f}$ dépend de celui de ${\displaystyle \varphi }$ qui est supposé calculé pour ce produit scalaire.

Ce résultat appelle quelques remarques.

1. Il faut bien noter que, si la borne inférieure ${\displaystyle \inf\{\varphi (x,y)\mid y\in F\}}$ est atteinte en plusieurs ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle \{s\mid (s,0)\in \partial \varphi (x,y)\}}$ ne dépend pas du minimiseur ${\displaystyle y}$ choisi.
   On a un autre éclairage sur cette indépendance par rapport à ${\displaystyle y}$ en observant que ${\displaystyle \varphi }$ est constante sur l'ensemble ${\displaystyle M(x):=\{(x,y)\mid y{\text{ minimise }}\varphi (x,\cdot )\}}$, si bien que ${\displaystyle \partial \varphi }$ est aussi constant sur l'intérieur relatif de ${\displaystyle M(x)}$. Cependant, ${\displaystyle \partial \varphi (x,y)}$ peut varier lorsque ${\displaystyle (x,y)}$ passe de l'intérieur relatif de ${\displaystyle M(x)}$ à son bord. C'est le cas de la fonction définie par ${\displaystyle \varphi (x,y)=\max(0,|y|-1)}$, dont la fonction marginale est nulle :
   
   ${\displaystyle M(x)=\{x\}\times [-1,1]\quad {\mbox{et}}\quad \partial \varphi (0,y)=\left\{{\begin{array}{ll}\{(0,0)\}&{\mbox{si}}~-1<y<1\\\{0\}\times [0,1]&{\mbox{si}}~y=1.\end{array}}\right.}$
   
2. D'autre part, si ${\displaystyle \varphi }$ est différentiable en ${\displaystyle (x,y)}$, où ${\displaystyle y}$ est un minimiseur quelconque de ${\displaystyle \varphi (x,\cdot )}$, alors ${\displaystyle f}$ est également différentiable en ${\displaystyle x}$ (car son sous-différentiel est un singleton) et l'on a
   
   ${\displaystyle \nabla f(x)=\nabla _{x}\varphi (x,y).}$
   C'est comme s'il y avait un minimiseur unique ${\displaystyle y(x)}$, fonction différentiable de ${\displaystyle x}$, que l'on écrivait ${\displaystyle f(x)=\varphi (x,y(x))}$ et que l'on calculait ${\displaystyle \nabla f(x)}$ par une dérivation en chaîne :
   
   ${\displaystyle \nabla f(x)=\nabla _{x}\varphi (x,y)+y'(x)^{*}\nabla _{y}\varphi (x,y).}$
   On retrouverait le résultat ci-dessus en observant que ${\displaystyle \nabla _{y}\varphi (x,y)=0}$ car ${\displaystyle y}$ minimise ${\displaystyle \varphi (x,\cdot )}$.
3. Le fait que ${\displaystyle \varphi (x,\cdot )}$ ait un minimum unique n'implique nullement la différentiabilité de la fonction marginale en ${\displaystyle x}$. Par exemple, ${\displaystyle f}$ est la fonction marginale de ${\displaystyle \varphi }$ définie par ${\displaystyle \varphi (x,y)=f(x)+y^{2}}$. Cette dernière a un minimum ${\displaystyle y=0}$ unique en ${\displaystyle y}$ quel que soit ${\displaystyle x}$, alors que ${\displaystyle f}$ peut ne pas être différentiable.

• (en) J. M. Borwein et A. S. Lewis, Convex Analysis and Nonlinear Optimization, New York, Springer, 2006, 2^e éd. (1^re éd. 2000) (lire en ligne)
• (en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty et Claude Lemaréchal, Fundamentals of Convex Analysis, Springer, 2004 (1^re éd. 2001), 259 p. (ISBN 3-540-42205-6, lire en ligne)
• (en) R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis, Princeton, New Jersey, Princeton University Press, coll. « Princeton Mathematical Series » (n^o 28), 1970 (lire en ligne)