Théorème de dérivation des fonctions composées

Théorème — Soient ${\displaystyle I}$ et ${\displaystyle J}$ deux intervalles de ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ et ${\displaystyle g:J\to \mathbb {R} }$ deux fonctions telles que ${\displaystyle f(I)\subset J}$, et ${\displaystyle a}$ un point de ${\displaystyle I}$.

Si ${\displaystyle f}$ est dérivable au point ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle g}$ est dérivable au point ${\displaystyle f(a)}$ alors la composée ${\displaystyle g\circ f}$ est dérivable au point ${\displaystyle a}$ et

${\displaystyle (g\circ f)'(a)=(g'(f(a)))\times f'(a)}$,

où ${\displaystyle \times }$ est le produit usuel de ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Une démonstration est proposée sur la Wikiversité (voir infra).

Si ${\displaystyle f}$ est dérivable sur ${\displaystyle I}$ et ${\displaystyle g}$ dérivable sur ${\displaystyle J}$ on a donc, sur ${\displaystyle I}$ :

${\displaystyle (g\circ f)'=(g'\circ f)\times f'}$.

Il est aussi possible de l'écrire avec la notation de Leibniz sous la forme :

${\displaystyle {\frac {{\text{d}}(g\circ f)}{{\text{d}}x}}={\frac {{\text{d}}g}{{\text{d}}f}}{\frac {{\text{d}}f}{{\text{d}}x}}}$

où ${\displaystyle {\frac {{\text{d}}g}{{\text{d}}f}}}$ indique que ${\displaystyle g}$ dépend de ${\displaystyle f}$ comme si ${\displaystyle f}$ était une variable.

Pour une meilleure lecture on pose souvent ${\displaystyle u=f(x)}$ et l'on obtient :

${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}g\circ f(x)={\frac {{\text{d}}g(u)}{{\text{d}}u}}\cdot {\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}x}}}$.

Théorème — Soient E, F deux espaces vectoriels normés et G un espace vectoriel topologique séparé. Soient U un ouvert de E, V un ouvert de F, f une application de U dans V, g une application de V dans G, et a un point de U. Si f est différentiable au point a et g différentiable au point f(a) alors g∘f est différentiable au point a, et

${\displaystyle {\rm {D}}_{a}(g\circ f)=({\rm {D}}_{f(a)}g)\circ {\rm {D}}_{a}f}$.

En particulier si E = Rⁿ, F = R^m et G = R^p, la matrice jacobienne de g∘f au point a est le produit de celle de g au point f(a) par celle de f au point a, ce qui peut s'écrire, en notant

${\displaystyle f(x)=(f_{1}(x),\ldots ,f_{m}(x)),\qquad g(y)=(g_{1}(y),\ldots ,g_{p}(y))\quad {\text{et}}\quad (g\circ f)(x)=h(x)=(h_{1}(x),\ldots ,h_{p}(x))}$ :

${\displaystyle {\frac {\partial h_{i}}{\partial x_{j}}}(a)=\sum _{k=1}^{m}{\frac {\partial g_{i}}{\partial y_{k}}}(f(a)){\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{j}}}(a)}$.