Dérivée

Sa création est liée à une polémique entre deux mathématiciens : Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz. Néanmoins, on retrouve chez des mathématiciens plus anciens les prémices de ce type de calcul : Pierre de Fermat et Isaac Barrow notamment. L'histoire du calcul infinitésimal remonte même à l'Antiquité, avec Archimède.

La notion de nombre dérivé a vu le jour au XVII^e siècle dans les écrits de Leibniz et ceux de Newton, qui le nomme fluxion et qui le définit comme « le quotient ultime de deux accroissements évanescents ». C'est à Lagrange (fin du XVIII^e siècle) que l'on doit la notation ${\displaystyle f'(x)}$, aujourd'hui usuelle, pour désigner le nombre dérivé de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle x}$. C'est aussi à lui qu'on doit le nom de « dérivée » pour désigner ce concept mathématique.

Le graphique d'une fonction, dessinée en noir, et une ligne tangente à cette fonction, dessinée en rouge. La pente de la tangente est égale à la dérivée de la fonction au point marqué.

Pour approcher cette notion de manière graphique, commençons par nous donner une courbe représentative d'une fonction continue dans un repère cartésien, c'est-à-dire tracée d'un seul trait de crayon, et bien « lisse » ; on dira là que la fonction associée est dérivable.

Quel que soit le point que l'on choisit sur la courbe, on pourra alors tracer ce qu'on appelle une tangente, c'est-à-dire une droite qui épouse localement la direction de cette courbe. Si l'on trace la courbe et sa tangente et que l'on s'approche en zoomant suffisamment, on aura de plus en plus de mal à distinguer la courbe de sa tangente. Si la courbe « monte » (c'est-à-dire si la fonction associée est croissante), la tangente sera également montante ; inversement, si la fonction est décroissante, la tangente sera descendante.

Si on se donne une abscisse ${\displaystyle x_{0}}$ pour laquelle la fonction ${\displaystyle f}$ est dérivable, on appelle nombre dérivé de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle x_{0}}$ le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse ${\displaystyle x_{0}}$. Ce réel donne de précieuses informations sur le comportement local d'une fonction : c'est la mesure algébrique de la vitesse à laquelle cette fonction change lorsque sa variable change.

Ainsi, si le nombre dérivé d'une fonction est positif sur un intervalle, cette fonction sera croissante sur ce même intervalle. Inversement, s'il est négatif, elle sera décroissante. Lorsque le nombre dérivé est nul en un point, la courbe admet une tangente horizontale en ce point (pour plus de détails, voir Fonction monotone#Monotonie et signe de la dérivée). Si de plus le nombre dérivé change de signe en ce point, alors la fonction admet un extremum local (minimum ou maximum) ; sinon, on obtient ce qu'on appelle un point d'inflexion et ainsi la courbe change de concavité.

Soit ${\displaystyle f}$ une fonction réelle à valeurs réelles définie sur une réunion quelconque d'intervalles non triviaux (c'est-à-dire non vides et non réduits à un point), et ${\displaystyle x_{0}}$ appartenant à l'intérieur de l'ensemble de définition ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{f}}$.

Pour tout ${\displaystyle h\in \mathbb {R} ^{*}}$ tel que ${\displaystyle [x_{0},x_{0}+h]\subset {\mathcal {D}}_{f}}$, on appelle taux d'accroissement de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle x_{0}}$ et avec un pas de ${\displaystyle h}$ la quantité :

${\displaystyle t_{x_{0}}(h)={f(x_{0}+h)-f(x_{0}) \over h}}$

Il s'agit du coefficient directeur de la droite reliant les points de coordonnées ${\displaystyle \left(x_{0},f(x_{0})\right)}$ et ${\displaystyle \left(x_{0}+h,f(x_{0}+h)\right)}$.

Si ${\displaystyle t_{x_{0}}(h)}$ admet une limite finie lorsque ${\displaystyle h}$ tend vers 0, on dit que ${\displaystyle f}$ est dérivable en ${\displaystyle x_{0}}$, auquel cas le nombre dérivé de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle x_{0}}$ est égal à la limite de ce taux d'accroissement. On note alors :

${\displaystyle f'(x_{0})=\lim _{h\to 0 \atop h\neq 0}t_{x_{0}}(h)=\lim _{h\to 0 \atop h\neq 0}{f(x_{0}+h)-f(x_{0}) \over h}}$

ou, de manière équivalente :

${\displaystyle f'(x_{0})=\lim _{x\to x_{0} \atop x\neq x_{0}}{f(x)-f(x_{0}) \over x-x_{0}}}$

Une fonction pour laquelle le taux d'accroissement en un point admet une limite finie (qui est le nombre dérivé) est dite dérivable en ce point.

Ce calcul de limite revient graphiquement à rechercher la pente de la tangente à la courbe en ce point. Ainsi, le nombre dérivé d'une fonction en un point, s'il existe, est égal à la pente de la tangente à la courbe représentative de la fonction en ce point :

Une sécante s'approche d'une tangente quand ${\displaystyle \Delta x\to 0}$.

La dérivation peut aussi être définie pour des fonctions d'une variable réelle à valeurs dans d'autres ensembles que ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Par exemple, une fonction ${\displaystyle f}$ d'une variable réelle, à valeurs dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, est dérivable en ${\displaystyle x_{0}}$ si et seulement si toutes ses coordonnées sont dérivables en ${\displaystyle x_{0}}$ ; et sa dérivée est la fonction dont les coordonnées sont les dérivées des coordonnées de ${\displaystyle f}$. C'est un cas particulier de fonctions d'une variable vectorielle et à valeurs dans un espace vectoriel normé ou métrique.

Typiquement, une fonction est dérivable si elle ne présente pas « d'aspérité », de rupture de pente ni de partie « verticale ».

Fonction signe.

Une fonction qui n'est pas continue en un point n'y est pas dérivable. Prenons l'exemple d'une fonction qui fait un saut. On ne peut pas définir de tangente, la limite du taux de variation est infinie (la pente de la courbe est verticale). C'est le cas par exemple de la fonction signe ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$ en 0 :

• à gauche de 0, i.e. ${\displaystyle x<0}$, ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=-1}$ ;
• en 0 : ${\displaystyle \operatorname {sgn}(0)=0}$ ;
• à droite de 0, i.e. ${\displaystyle x>0}$, ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=+1}$ ;

le taux de variation pour une largeur ${\displaystyle h}$, vaut donc

${\displaystyle {\frac {(1-(-1))}{h}}}$

et tend vers ${\displaystyle +\infty }$ quand ${\displaystyle h}$ tend vers 0. Par contre, on peut définir une dérivée à gauche — dérivée partout nulle (tangente horizontale) sur ${\displaystyle ]-\infty ,0[}$ — et une dérivée à droite — dérivée également nulle sur ${\displaystyle ]0,+\infty [}$.

Fonction valeur absolue.

Fonction racine cubique.

Si une fonction est dérivable en un point alors elle est continue en ce point, mais la réciproque est fausse.

Par exemple : la fonction valeur absolue ${\displaystyle x\mapsto |x|}$ est continue mais n'est pas dérivable en 0 :

• à gauche de 0, i.e. ${\displaystyle x<0}$, la pente vaut ${\displaystyle -1}$ ;
• à droite de 0, i.e. ${\displaystyle x>0}$, la pente vaut ${\displaystyle +1}$.

Il y a une tangente à gauche et une tangente à droite différentes, la pente en 0 n'est pas définie ; le taux de variation n'a pas de limite définie. C'est le cas général pour les courbes présentant un point anguleux.

Il en est de même de la fonction racine cubique, qui a une tangente verticale en ${\displaystyle x=0}$ : le taux de variation a une limite infinie.

La dérivabilité est a priori une notion locale (dérivabilité en un point), mais à toute fonction ${\displaystyle f:{\mathcal {D}}_{f}\to \mathbb {R} }$ on peut associer sa fonction dérivée ${\displaystyle f'}$ (prononcée « ${\displaystyle f}$ prime »), donnée par

${\displaystyle f'\colon {\mathcal {D}}_{f'}\rightarrow \mathbb {R} ,\quad x\mapsto f'(x)}$

où ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{f'}}$ est le domaine de dérivabilité de ${\displaystyle f}$ (le sous-ensemble de ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{f}}$ constitué des points en lesquels ${\displaystyle f}$ est dérivable).

Les fonctions dérivées sont utilisées notamment dans l'étude des fonctions réelles et de leurs variations.

La seule fonction (à une constante multiplicative près) égale à sa dérivée — c'est-à-dire solution de l'équation différentielle ${\displaystyle f'=f}$ — est la fonction exponentielle de base ${\displaystyle \mathrm {e} }$. Certains ouvrages prennent cette propriété, avec la condition ${\displaystyle f(0)=1}$, comme définition de l'exponentielle.

Il existe différentes notations pour exprimer la valeur de la dérivée d'une fonction ${\displaystyle f}$ en un point ${\displaystyle a}$. On distingue :

• la notation de Lagrange[1] : ${\displaystyle f'\left(a\right)}$ ;
• la notation de Leibniz : ${\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }f}{{\mathrm {d} }x}}(a)}$ ou ${\displaystyle \left.{\frac {{\mathrm {d} }f}{{\mathrm {d} }x}}\right|_{x=a}}$. En physique, on note parfois ${\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }\left(f(a)\right)}{{\mathrm {d} }x}}}$. Cette dernière notation n'est pas rigoureuse car ${\displaystyle f(a)}$ est un nombre constant, qui peut être vu comme une fonction constante ${\displaystyle g:X\mapsto g(X)=f(a)}$ : rigoureusement, on a donc ${\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }\left(f(a)\right)}{{\mathrm {d} }x}}=0}$ ;
• la notation de Newton[2] : ${\displaystyle {\dot {f}}(a)}$ qui est plutôt utilisée en physique pour désigner une dérivée par rapport au temps (on parle alors de calcul des fluxions) ;
• la notation d'Euler : ${\displaystyle D_{x}f(a)}$.

Ces notations permettent également d'écrire des dérivées itérées, cela se fait en multipliant le prime ou le point dans la notation (par exemple une dérivée seconde peut s'écrire ${\displaystyle f''(a)}$ ou ${\displaystyle {\ddot {f}}(a)}$).

${\displaystyle f'}$ peut souvent se calculer directement à partir d'une expression de ${\displaystyle f}$, lorsqu'il s'agit d'une fonction « simple », en utilisant la table des dérivées usuelles. Pour des fonctions qui s'expriment comme combinaison linéaire de fonctions simples, comme produit, quotient ou composée, on utilise un petit nombre de règles algébriques déduites de la définition donnée plus haut. Les règles les plus couramment utilisées sont les suivantes :

Nom	Règle	Conditions
Linéarité	${\displaystyle (af+g)^{\prime }=af'+g'}$	Quels que soient le réel ${\displaystyle a}$ et les fonctions dérivables ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$.
Produit	${\displaystyle (fg)^{\prime }=f'g+fg'}$	Quelles que soient les fonctions dérivables ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$ .
Inverse	${\displaystyle \left({1 \over g}\right)'={-g' \over g^{2}}}$	Quelle que soit la fonction dérivable ${\displaystyle g}$ qui ne s'annule pas (cas particulier ${\displaystyle f:x\mapsto 1}$ de la ligne suivante)
Quotient	${\displaystyle \left({f \over g}\right)'={f'g-fg' \over g^{2}}}$	Quelles que soient la fonction dérivable ${\displaystyle f}$ et la fonction dérivable ${\displaystyle g}$ qui ne s'annule pas
Composée	${\displaystyle (g\circ f)'=(g'\circ f)\cdot f'}$	Quelles que soient les fonctions dérivables (et composables) ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$
Réciproque	${\displaystyle (f^{-1})'={\frac {1}{f'\circ f^{-1}}}}$	Quelle que soit la fonction ${\displaystyle f}$ bijective de réciproque ${\displaystyle f^{-1}}$, dérivable de dérivée ne s'annulant en aucun point

En particulier, voici les règles courantes se déduisant de la dérivée de composées :

Nom	Règle	Conditions
Puissance	${\displaystyle (f^{\alpha })^{\prime }=\alpha f^{\alpha -1}f'}$	Quel que soit ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} }$, et même quel que soit ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ si ${\displaystyle f>0}$
Racine	${\displaystyle \left({\sqrt {f}}\right)'={f' \over 2{\sqrt {f}}}}$	Quelle que soit la fonction dérivable ${\displaystyle f}$ strictement positive (cas particulier ${\displaystyle \alpha =1/2}$ de la ligne précédente)
Exponentielle	${\displaystyle ({\mbox{e}}^{f})^{\prime }={\mbox{e}}^{f}\cdot f'}$	Quelle que soit ${\displaystyle f}$ dérivable
Logarithme	${\displaystyle (\log _{b}f)^{\prime }={f' \over f\cdot \ln b}}$	Quelle que soit la fonction dérivable ${\displaystyle f}$ strictement positive
Logarithme népérien	${\displaystyle (\ln f)^{\prime }={f' \over f}}$	Quelle que soit la fonction dérivable ${\displaystyle f}$ strictement positive (cas ${\displaystyle b=\mathrm {e} }$ de la ligne précédente)

Principe de la dérivation numérique.

Dans le cas d'une courbe expérimentale, on ne possède pas de fonction explicite pour la décrire, mais une série de valeurs ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$. On a donc recours à une dérivation numérique, qui consiste simplement à approcher la valeur de la dérivée en un point ${\displaystyle i}$ par le taux de variation entre les points précédent et suivant :

${\displaystyle f'(x_{i})\simeq {\frac {y_{i+1}-y_{i-1}}{x_{i+1}-x_{i-1}}}}$

Graphiquement, cela revient à remplacer la tangente par la corde. Ceci peut se justifier par le théorème des accroissements finis : on sait qu'il existe un point de l'intervalle ${\displaystyle \left[x_{i-1},x_{i+1}\right]}$ pour lequel la dérivée est la pente de la corde, et si l'intervalle est petit, alors ce point est proche du milieu ${\displaystyle x_{i}}$ . Cette méthode est automatisable sur les calculatrices programmables et les ordinateurs.

Il faut cependant se poser la question de la précision des résultats. Une mise en informatique « naïve » de la méthode de calcul peut mener à des résultats de précision médiocre dans certains cas.

Dans un ordinateur, la précision des nombres est limitée par le mode de représentation. Si l'on utilise la double précision selon la norme IEEE 754, les nombres ont environ 16 chiffres significatifs. On a donc une précision relative de l'ordre de 10⁻¹⁶ (2⁻⁵² exactement). Notons ${\displaystyle r}$ cette valeur. Les calculatrices de poche admettent typiquement 10 chiffres significatifs, soit ${\displaystyle r}$ = 10⁻¹⁰.

Supposons que la différence ${\displaystyle y_{i+1}-y_{i-1}}$ soit inférieure à ${\displaystyle r}$, alors le calculateur fera une erreur grossière sur le calcul et le résultat sera médiocre ; voire, si la différence est très faible, il ne « verra pas » de différence entre les deux valeurs, et le résultat sera 0. Si par exemple on veut avoir la dérivée autour de 2 de la fonction ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$, en prenant un écart de 10⁻¹³ entre les points :

${\displaystyle x_{1}}$ = 1,999 999 999 999 9

${\displaystyle x_{2}}$ = 2

${\displaystyle x_{3}}$ = 2,000 000 000 000 1

${\displaystyle \delta =y_{3}-y_{1}={x_{3}}^{2}-{x_{1}}^{2}}$ ≈ 8 × 10⁻¹³

On voit que la différence entre les nombres, 8 × 10⁻¹³, est proche de ${\displaystyle r}$. On va donc avoir une erreur d'arrondi. De fait, le calcul nous donne sur un ordinateur

${\displaystyle f'(2)}$ ≈ 3,997

alors que le résultat exact est

${\displaystyle f'(2)}$ = 2 × 2¹ = 4

soit une erreur de 0,3 %. Sur une calculatrice, le résultat est ${\displaystyle f'(2)}$ ≈ 0…

Le point critique est le choix de l'écart ${\displaystyle h}$ entre les valeurs de ${\displaystyle x}$. Une valeur de l'ordre de ${\displaystyle {\sqrt {r}}}$ convient dans de nombreux cas. Il nous manque encore quelques éléments pour cette étude ; le problème est abordé dans la section Précision de la dérivée numérique ci-dessous.

Donc :

• pour un ordinateur calculant en double précision, on peut prendre un écart de 10⁻⁸ entre les points ;
• pour une calculatrice avec 10 chiffres significatifs, on peut prendre un écart de 10⁻⁵ entre les points.

Dérivation graphique : on convertit la pente des droites en utilisant un pôle.

On peut également effectuer une dérivation graphique, sans utiliser de calcul. On approche les tangentes par les cordes comme pour la méthode numérique. Puis, on tire des parallèles à ces droites passant par un point nommé pôle P. On considère l'intersection de ces droites avec la verticale passant par O, le segment [OP] étant horizontal. La hauteur ${\displaystyle v_{i}}$ des segments ainsi délimités est proportionnelle à la pente ${\displaystyle a_{i}}$ :

${\displaystyle v_{i}={\mathsf {OP}}\times a_{i}}$

on peut donc reporter cette hauteur sur le graphique et obtenir une approximation de la courbe dérivée. L'échelle de l'axe des ${\displaystyle y}$ est donc de OP:1.

La dérivée seconde, notée ${\displaystyle f''}$, est la dérivée de la dérivée de ${\displaystyle f}$, lorsqu'elle existe :

${\displaystyle f''=(f')'}$

et la dérivée troisième est la dérivée de la dérivée seconde, lorsqu'elle existe :

${\displaystyle f'''=(f'')'}$.

De manière générale, on définit la dérivée d'ordre ${\displaystyle n}$ pour une fonction ${\displaystyle n}$ fois dérivable par récurrence :

${\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{n+1}f}{{\mathrm {d} }x^{n+1}}}={\frac {\mathrm {d} }{{\mathrm {d} }x}}{\frac {{\mathrm {d} }^{n}f}{{\mathrm {d} }x^{n}}}}$

${\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{n}f}{{\mathrm {d} }x^{n}}}}$ est également notée ${\displaystyle f^{(n)}}$.

Beaucoup de problèmes font intervenir plusieurs variables qui sont liées entre elles et qui varient en fonction du temps.

La variation de l'une de ces variables donnera une variation correspondante des autres variables.

Le lien entre ces variations dépendra des relations qui existent entre les variables.

En trouvant les valeurs de ${\displaystyle x}$ pour lesquelles la dérivée vaut 0 ou n'existe pas, on trouve les nombres critiques de la fonction. Les nombres critiques de ${\displaystyle f}$ permettent de trouver implicitement ses maxima et ses minima. En effectuant le test de la dérivée première, on construit un tableau de variation ; si le signe de la fonction dérivée passe du plus au moins devant un nombre critique, on a un maximum et si le signe de la fonction dérivée passe du moins au plus devant le nombre critique, on a un minimum.

De plus, lorsque le signe de la dérivée première est positif, la fonction est croissante ; s'il est négatif, elle est décroissante. On ne conclut rien, si au point critique la fonction dérivée ne change pas de signe. En dérivant la dérivée première, on a la dérivée seconde. En effectuant le test de la dérivée seconde, on trouve les nombres critiques de la dérivée première pour les placer dans le même tableau ; lorsqu'on observe un changement de signe de la dérivée seconde devant ce ou ces nombres critiques, on dit qu'on a un (ou des) point(s) d'inflexion. Les points d'inflexion marquent un changement de la concavité de la fonction. Un signe positif de la dérivée seconde signifie que la fonction est convexe et un signe négatif de la dérivée seconde signifie que la fonction est concave. Connaissant les changements de concavité et les extrema de la fonction, on peut alors tracer une esquisse de sa représentation graphique.

Méthode pour optimiser un rendement à l'aide du calcul différentiel :

1. Mathématisation
   • Définitions et dessin : on définit les variables inconnues et on les représente sur un schéma.
   • Écrire la fonction objectif à deux variables et préciser si on recherche un maximum ou un minimum dans la situation donnée.
   • Trouver la relation entre les deux variables.
   • Écrire la fonction objectif à une variable et préciser le domaine de la fonction.
2. Analyse
   • Dériver la fonction pour obtenir la dérivée première.
   • Trouver les nombres critiques de la fonction, où la dérivée première vaut zéro ou n'existe pas dans les intervalles du domaine.
   • Effectuer le test de la dérivée première ou le test de la dérivée seconde pour déterminer le maximum ou le minimum recherché de la situation.
3. On formule la réponse de façon concise par rapport à la question.

Les algébristes donnent un sens un peu différent au terme dérivée. Ils l'appliquent à une structure ${\displaystyle B}$ appelée A-algèbre associative unitaire et commutative. Une application ${\displaystyle D}$, de ${\displaystyle B}$ dans ${\displaystyle B}$ est appelée une dérivation si :

• l'application ${\displaystyle D}$ est A-linéaire ;
• ${\displaystyle b_{1}}$ et ${\displaystyle b_{2}}$ étant deux éléments de ${\displaystyle B}$, la dérivée de ${\displaystyle b_{1}\cdot b_{2}}$ est égale à la somme du produit de la dérivée de ${\displaystyle b_{1}}$ et de ${\displaystyle b_{2}}$ et du produit de ${\displaystyle b_{1}}$ avec la dérivée de ${\displaystyle b_{2}}$ :${\displaystyle D(b_{1}\cdot b_{2})=D(b_{1})\cdot b_{2}+b_{1}\cdot D(b_{2})}$(en particulier, la dérivée de l'élément ${\displaystyle 1_{B}}$ neutre de ${\displaystyle B}$ pour la multiplication est nulle).

Un exemple de dérivation définie de cette manière est donné dans l'article polynôme formel.

Une autre généralisation part de la notion de dérivée n-ème pour construire, à l'aide de la transformation de Laplace, une nouvelle fonction, la dérivée t-ème, où t est un réel quelconque, et qui coïncide avec la dérivée itérée si t est entier et si la fonction de départ est suffisamment régulière.

La dérivation est une application linéaire, de l'espace vectoriel des fonctions dérivables sur un intervalle ouvert non vide ${\displaystyle I}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ et à valeurs réelles, vers celui des fonctions quelconques de ${\displaystyle I}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$[5]. Son noyau est constitué des fonctions constantes et plus généralement, tout réel ${\displaystyle \lambda }$ est valeur propre, de sous-espace propre associé la droite de toutes les fonctions de la forme ${\displaystyle x\mapsto a\mathrm {e} ^{\lambda x}}$ avec ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$.

La dérivation en tant qu'endomorphisme de l'espace ${\displaystyle E={\mathcal {C}}^{\infty }(I,\mathbb {C} )}$ n'admet pas de racine carrée[6] - [7], c'est-à-dire que si l'on note ${\displaystyle D:E\to E}$ l'opérateur de dérivation, alors il n'existe pas[8] d'application linéaire ${\displaystyle T:E\to E}$ telle que ${\displaystyle T\circ T=D}$.