Test de la dérivée première

Soit ${\displaystyle f:\,I\,\rightarrow \mathbb {R} ,\,x\mapsto f(x)}$ avec ${\displaystyle I}$ un intervalle ouvert réel (par exemple ${\displaystyle I=]a,b[}$ où ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ sont des réels). On suppose de plus que ${\displaystyle f}$ dérivable sur ${\displaystyle I}$ .

L'étude du signe de la dérivée ${\displaystyle f'}$ permet d'en déduire les variations de la fonction ${\displaystyle f}$ :

• Si ${\displaystyle I_{1}\subset I}$ est un intervalle tel que pour tout ${\displaystyle x\in I_{1},}$ ${\displaystyle f'(x)<0}$, alors ${\displaystyle f}$ est strictement décroissante sur ${\displaystyle I_{1}}$
• Si ${\displaystyle I_{2}\subset I}$ est un intervalle tel que pour tout ${\displaystyle x\in I_{2},}$ ${\displaystyle f'(x)>0}$, alors ${\displaystyle f}$ est strictement croissante sur ${\displaystyle I_{2}}$
• Si ${\displaystyle x\in I}$ est tel que ${\displaystyle f'(x)=0}$, alors ${\displaystyle f}$ admet un extremum local ou un point d'inflexion (suivant si ${\displaystyle f'}$change de signe en ${\displaystyle x}$ ou non).

Les points en lesquels ${\displaystyle f'}$ s'annule sont parfois appelés points critiques. Leur étude est très utile quand on s'intéresse aux variations d'une fonction. En effet, si la fonction ${\displaystyle f}$ change de sens de variation en un point, la dérivée s'annule en ce point. Cependant, la réciproque est fausse dans le cas général : ${\displaystyle f'}$peut s'annuler sans que ${\displaystyle f}$ ne change de sens de variation, c'est par exemple le cas lorsque ${\displaystyle f}$ admet un point d'inflexion horizontal.

Soit la fonction polynomiale définie pour tout ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ par ${\displaystyle f(x)=2x^{3}-3x^{2}-12x+10}$.

On utilise le test de la dérivée première pour établir le tableau de variation de ${\displaystyle f}$ et ainsi donner l'allure du graphe de cette fonction.

Tableau de variations

Un aperçu de la représentation graphique de ${\displaystyle f(x)=2x^{3}-3x^{2}-12x+10}$ peut être obtenu en regroupant toutes les informations précédentes dans un tableau, appelé tableau de variation.

${\displaystyle x}$	${\displaystyle -\infty }$		${\displaystyle -1}$		${\displaystyle 2}$		${\displaystyle +\infty }$
signe de ${\displaystyle f'(x)}$		${\displaystyle +}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle +}$
variations de ${\displaystyle f}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \nearrow }$	${\displaystyle 17}$	${\displaystyle \searrow }$	${\displaystyle -10}$	${\displaystyle \nearrow }$	${\displaystyle +\infty }$

On remarque que la fonction ${\displaystyle f'}$change de signe en -1 donc il s'agit bien d'un extremum local, ici un maximum. De même, en 2, la fonction atteint un minimum local. On peut en déduire une esquisse du graphe de ${\displaystyle f}$.

De manière analogue, on peut déterminer les extrema locaux et globaux d'une fonction réelle à valeurs réelles par l'étude des points d'annulation du gradient.

• Variations d'une fonction
• Dérivation
• Théorème de Fermat sur les points stationnaires

1. https://casevitz.users.lmno.cnrs.fr/CSB/chap2.htm