Fonction polynomiale

Un exemple de fonction polynomiale réelle de degré 5

Un cas courant est celui où le polynôme est à coefficients réels ou complexes. Plus précisément, on considère le polynôme P de la forme

${\displaystyle P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}}$

où les a_j sont des nombres réels ou des nombres complexes. La fonction polynomiale f associée est alors définie par

${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$

où l'argument x peut être lui-même réel ou complexe.

Les exemples les plus courants sont :

• les fonctions constantes correspondant à n = 0 ;
• les fonctions affines correspondant à n = 1 ;
• les fonctions quadratiques (aussi appelées fonctions du second degré) correspondant à n = 2 ;
• les fonctions cubiques correspondant à n = 3.

Dans le cadre des fonctions polynomiales réelles ou complexes, on définit le degré d'une fonction polynomiale comme le degré du polynôme auquel elle est associée (avec la convention que le degré vaut −∞ si la fonction est nulle).

Puisqu'un polynôme réel ou complexe non constant de degré n a au plus n racines d'après le théorème de d'Alembert-Gauss, on en déduit qu'une fonction polynomiale réelle ou complexe non constante de degré n a au plus n zéros. Autrement dit, deux fonctions polynomiales réelles ou complexes de degrés inférieurs ou égaux à n et coïncidant sur plus de n points sont nécessairement identiques (c'est-à-dire qu'elles ont même degré et mêmes coefficients).

La fonction polynomiale f réelle ou complexe est infiniment dérivable (elle est même analytique) et la k-ième dérivée de f est exactement la fonction polynomiale associée à la k-ième dérivée formelle de P. Par exemple, la dérivée formelle de P est donnée par

${\displaystyle P^{\prime }=na_{n}X^{n-1}+(n-1)a_{n-1}X^{n-2}+\cdots +2a_{2}X+a_{1}}$

et on a

${\displaystyle f^{\prime }(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +2a_{2}x+a_{1}.}$

En particulier, les dérivées d'ordre k > n de fonctions polynomiales de degré n sont identiquement nulles.

De même, les primitives de f sont exactement les fonctions polynomiales associées aux primitives formelles de P, c'est-à-dire de la forme

${\displaystyle x\mapsto {\frac {a_{n}}{n+1}}x^{n+1}+{\frac {a_{n-1}}{n}}x^{n}+\cdots +{\frac {a_{1}}{2}}x^{2}+a_{0}x+C}$

où C est une constante réelle ou complexe arbitraire.

Plus généralement, il est possible de considérer un polynôme P à coefficients dans un corps K (commutatif) quelconque:

${\displaystyle P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}}$

où les a_j sont des éléments de K. La fonction polynomiale f associée est alors la fonction de K dans lui-même définie par

${\displaystyle \forall x\in K,\quad f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}.}$

Dans le cas où le corps est infini (par exemple dans le cas du corps des nombres réels ou des nombres complexes traité plus haut), on peut encore identifier polynômes et fonctions polynomiales. Autrement dit, l'application qui à un polynôme à coefficients dans K associe la fonction polynomiale correspondante est une injection de l'ensemble des polynômes à coefficients dans K dans l'ensemble des applications de K dans lui-même. Par conséquent, on peut définir comme à la section précédente la notion de degré d'une fonction polynomiale comme le degré du polynôme correspondant et deux fonctions polynomiales sont identiques si et seulement si leurs polynômes associés sont les mêmes.

Dans le cas où K est un corps fini, ce qui précède n'est plus vrai. Par exemple, dans le corps à deux éléments, le polynôme X(X-1) n'est pas le polynôme nul mais la fonction polynomiale associée est identiquement nulle. Il n'est alors pas possible de définir la notion de degré d'une fonction polynomiale et deux fonctions polynomiales peuvent être identiques sans que leurs polynômes associés soient égaux. Cela montre qu'il est nécessaire dans ce cadre de distinguer la notion de fonction polynomiale de celle de polynôme formel.

On peut également considérer un polynôme P à coefficients dans un anneau A quelconque:

${\displaystyle P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}}$

où les a_j sont des éléments de A. On peut alors comme ci-dessus définir la fonction polynomiale associée.

De manière plus générale, il est possible de considérer une algèbre associative E (unitaire) sur A et l'application qui à un élément e de E associe l'élément P(e) de E défini par

${\displaystyle P(e)=a_{n}e^{n}+a_{n-1}e^{n-1}+\cdots +a_{1}e+a_{0}\,1_{E}.}$

Cette application est un morphisme d'anneaux appelé morphisme d'évaluation.

Un cas d'usage très courant est celui où A est un corps K (commutatif) et où E est l'ensemble des endomorphismes d'un espace vectoriel sur K. Ainsi, si u est un tel endomorphisme, on a

${\displaystyle P(u)=a_{n}u^{n}+a_{n-1}u^{n-1}+\cdots +a_{1}u+a_{0}\,\mathrm {id} }$

où les puissances correspondent à la composition de fonctions et id est l'application identité de l'espace vectoriel. Ainsi, pour tout polynôme P et tout endomorphisme u, P(u) est un endomorphisme. La notion de polynôme d'endomorphisme joue un rôle central pour la réduction d'endomorphisme.

De manière complètement analogue, il est possible de définir la notion de polynôme de matrice.

• Histoire des polynômes ;
• Méthode de Ruffini-Horner, encore appelée, entre autres, algorithme de Horner, pour une évaluation numérique efficace de la valeur d'une fonction polynomiale en un point ou une série de points (efficace au sens d'une minimisation des erreurs d'arrondi en arithmétique informatique et calcul avec des nombres flottants.
• Fonction de plusieurs variables