Fonction affine

Une fonction affine est caractérisée par le fait que son taux d'accroissement est constant. C'est-à-dire qu'il y a proportionnalité entre les accroissement de x et les accroissement de f(x). En effet, si x₁ et x₂ sont deux réels, l'accroissement f(x₂) – f(x₁) est proportionnel à x₂ – x₁, comme le donne l’égalité :

${\displaystyle f(x_{2})-f(x_{1})=a(x_{2}-x_{1}).}$

Le coefficient de proportionnalité est a.

Cette propriété donne alors un outil pour déterminer le coefficient a :

${\displaystyle a={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}}$ si x₁ ≠ x₂.

On en déduit : ${\displaystyle f'(x)=a}$ (la dérivée d'une fonction affine est une fonction constante dont la valeur est le coefficient multiplicateur – ou coefficient de proportionnalité – de la fonction affine).

L'ordonnée à l'origine b peut se calculer de la manière suivante :

${\displaystyle b={\frac {x_{2}f(x_{1})-x_{1}f(x_{2})}{x_{2}-x_{1}}}}$ si x₁ ≠ x₂.

Supposons a, b réels et a non nul.

• L'unique solution de l'équation ax + b = 0 est le réel –b/a.
• L'ensemble des solutions de l'inéquation ax + b ≥ 0 est l'intervalle réel [–b/a, +∞[ si a > 0, ]–∞, –b/a] si a < 0.

Exemple de l'abonnement téléphonique.

Le prix de l'abonnement mensuel est A et le prix d'une communication à la minute est de 0,10 €/min. La facture téléphonique est alors une fonction affine du nombre x de minutes de communication dans le mois :${\displaystyle f\colon x\mapsto A+0{,}1~x.}$

Longueur d'un ressort.

Si au repos le ressort a une longueur L₀ et si sa raideur est k, alors la longueur du ressort est une fonction affine de la force appliquée (loi de Hooke).${\displaystyle L\colon f\mapsto L_{0}+{\frac {f}{k}}.}$Dans ce cas, le coefficient directeur est 1/k et l'ordonnée à l'origine L₀.

La représentation graphique d'une fonction affine définie sur l'ensemble des réels est une droite dont l'équation est

${\displaystyle y=ax+b.}$

La droite coupe l'axe des ordonnées pour y = b (d'où le nom d'ordonnée à l'origine). Lorsque b est nul, la droite passe par l'origine du repère cartésien.

La droite a pour « pente » ou « coefficient directeur » le réel a. Si a > 0, la fonction affine est croissante (la droite « monte ») et si a < 0, elle est décroissante (la droite « descend »). Par un processus analogue à celui vu pour la fonction linéaire, un déplacement d'un carreau en abscisse induit un déplacement de a carreaux en ordonnée, si le repère est orthonormé.

Si M(x₁, y₁) et N(x₂, y₂) sont deux points distincts appartenant à la droite d'équation y = ax + b, alors :

${\displaystyle a={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}},}$

${\displaystyle b=y_{1}-ax_{1}=y_{2}-ax_{2}={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}.}$

Si a = 0 alors la fonction est constante et si b = 0 alors la fonction est linéaire.

• Application affine (d'un espace affine dans un autre)
• Fonction affine par morceaux