Loi de Hooke

Le comportement élastique du matériau est modélisé par un tenseur ${\displaystyle [C]}$ d'ordre 4 et de dimension 3 (de coefficients ${\displaystyle C_{ijkl}}$), de telle sorte que la relation entre contraintes et déformations s'écrit :

${\displaystyle [\sigma ]=[C]\cdot [\varepsilon ]}$

ou, en appliquant la convention de sommation d'Einstein (sommation implicite sur les indices répétés) :

${\displaystyle \sigma _{ij}=C_{ijkl}\;\varepsilon _{kl}}$

Le tenseur ${\displaystyle [C]}$ comporte 3⁴ = 81 coefficients, mais :

• les tenseurs ${\displaystyle [\sigma ]}$ et ${\displaystyle [\varepsilon ]}$ étant symétriques, le tenseur ${\displaystyle [C]}$ vérifie les relations ${\displaystyle C_{ijkl}=C_{jikl}=C_{ijlk}}$ ;
• de plus, en supposant que le tenseur des contraintes peut être dérivé d'une énergie potentielle, on peut montrer que le tenseur des constantes élastiques est invariant par permutation des paires d'indices : ${\displaystyle C_{ijkl}=C_{klij}}$.

L'existence de ces relations réduit le nombre de coefficients indépendants à 21. Il s'agit d'un nombre maximum, valable pour les réseaux cristallins sans symétrie autre que celle de translation (système réticulaire triclinique).

En ne considérant que les éléments indépendants de ${\displaystyle [\sigma ]}$ et ${\displaystyle [\varepsilon ]}$, la relation ${\displaystyle \sigma _{ij}=C_{ijkl}\cdot \varepsilon _{kl}}$ peut s'écrire :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}C_{1111}&C_{1122}&C_{1133}&C_{1123}&C_{1113}&C_{1112}\\C_{2211}&C_{2222}&C_{2233}&C_{2223}&C_{2213}&C_{2212}\\C_{3311}&C_{3322}&C_{3333}&C_{3323}&C_{3313}&C_{3312}\\C_{2311}&C_{2322}&C_{2333}&C_{2323}&C_{2313}&C_{2312}\\C_{1311}&C_{1322}&C_{1333}&C_{1323}&C_{1313}&C_{1312}\\C_{1211}&C_{1222}&C_{1233}&C_{1223}&C_{1213}&C_{1212}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{12}\\\end{pmatrix}}}$

où la matrice 6×6 est symétrique : la matrice triangulaire supérieure comprend les 21 coefficients indépendants, les 15 termes restants étant symétriques par rapport à la diagonale.

Pour simplifier l'écriture, on adopte souvent une notation de 1 à 6, appelée notation de Voigt, où les axes de compression/traction (indices 11, 22 et 33) sont renumérotés de 1 à 3, et les axes de cisaillement (23, 13 et 12) de 4 à 6 :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{21}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{31}&C_{32}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{41}&C_{42}&C_{43}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{51}&C_{52}&C_{53}&C_{54}&C_{55}&C_{56}\\C_{61}&C_{62}&C_{63}&C_{64}&C_{65}&C_{66}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\\\end{pmatrix}}}$

où les 21 coefficients indépendants (matrice triangulaire supérieure) sont les éléments ${\displaystyle C_{IJ}}$ pour lesquels ${\displaystyle (1\leq )\,I\leq J\,(\leq 6)}$.

Dans le cas d'un matériau isotrope, si l'on reprend en compte le coefficient de Poisson ${\displaystyle \nu }$, la loi de Hooke devient :

${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {\mathrm {E} }{1+\nu }}\left(\varepsilon _{ij}+{\frac {\nu }{1-2\nu }}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)}$

avec

• δ_ij le symbole de Kronecker ;
• ε_kk la notation indicielle de la trace du tenseur des déformations (somme des termes diagonaux du tenseur).

On peut aussi écrire la loi sous forme matricielle :

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {\mathrm {E} }{1+\nu }}\left({\boldsymbol {\varepsilon }}+{\frac {\nu }{1-2\nu }}\mathrm {Tr} \left({\boldsymbol {\varepsilon }}\right)\mathbf {I} \right)}$.

Les relations ci-dessus peuvent être inversées pour donner :

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{\mathrm {E} }}\left[\left(1+\nu \right)\sigma _{ij}-\nu \sigma _{kk}\delta _{ij}\right]}$

ou, sous forme matricielle (en appliquant la trace à la relation plus haut) :

${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{\mathrm {E} }}\left((1+\nu ){\boldsymbol {\sigma }}-\nu \mathrm {Tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} \right)}$

La forme explicite très simple de ces relations (donnant les déformations en fonction des contraintes)

${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}={\frac {1}{\mathrm {E} }}\left(\sigma _{11}-\nu \left(\sigma _{22}+\sigma _{33}\right)\right)&\varepsilon _{12}={\frac {1+\nu }{\mathrm {E} }}\sigma _{12}&\varepsilon _{13}={\frac {1+\nu }{\mathrm {E} }}\sigma _{13},\\[0.5em]\cdots &\varepsilon _{22}={\frac {1}{\mathrm {E} }}\left(\sigma _{22}-\nu \left(\sigma _{11}+\sigma _{33}\right)\right)&\varepsilon _{23}={\frac {1+\nu }{\mathrm {E} }}\sigma _{23},\\[0.5em]\cdots &\cdots &\varepsilon _{33}={\frac {1}{\mathrm {E} }}\left(\sigma _{33}-\nu \left(\sigma _{11}+\sigma _{22}\right)\right)\\\end{pmatrix}}}$

montre bien la signification physique du module de Young E et du coefficient de Poisson ${\displaystyle \nu }$.

Source[1].
Dans le cas de la flexion des plaques (voir Théorie des plaques), on considère que la déformation ne se produit que selon les deux directions comprises dans le plan de la plaque (on définit le trièdre par : axes x et y dans le plan de la plaque et z est la direction de l'épaisseur).

En considérant la plaque fine, on suppose que : ${\displaystyle \sigma _{xx}=\sigma _{yy}}$ et ${\displaystyle \sigma _{zz}=0}$ (le reste de la matrice étant constitué de 0).

En reprenant la formule précédente : ${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{\mathrm {E} }}\left[\left(1+\nu \right)\sigma _{ij}-\nu \sigma _{kk}\delta _{ij}\right]}$ et l'appliquant au calcul de ${\displaystyle \varepsilon _{xx}}$ on obtient : ${\displaystyle \varepsilon _{xx}={\frac {1}{\mathrm {E} }}\left[\sigma _{xx}-\nu \left(\sigma _{yy}+\sigma _{zz}\right)\right]}$ (remarque : ce calcul s'applique aussi bien à ${\displaystyle \varepsilon _{yy}}$ et ${\displaystyle \varepsilon _{zz}}$ en faisant une permutation des indices).

Avec les hypothèses relatives aux plaques fines : ${\displaystyle \varepsilon _{xx}={\frac {1-\nu }{\mathrm {E} }}\sigma _{xx}}$, ou ${\displaystyle \sigma _{xx}={\frac {\mathrm {E} }{1-\nu }}\varepsilon _{xx}}$.

On retrouve alors la loi de Hooke, avec un module de Young modifié.

Ce module est classiquement noté ${\displaystyle Y={\frac {\mathrm {E} }{1-\nu }}}$ et est appelé module biaxial (biaxial modulus en anglais).

• Module d'élasticité
• Plasticité et endommagement d'un polymère