Degré (angle)
Le degrĂ© d'angle (ou d'arc), ou simplement degrĂ© (symbole[alpha 1] : °), est une unitĂ© d'angle, dĂ©finie comme la trois-cent-soixantiĂšme partie d'un angle plein (1360 tour)[1]. Un degrĂ© est Ă©quivalent Ă Ï/180 radians. Lorsque cet angle est en rapport avec un mĂ©ridien de rĂ©fĂ©rence, il indique un emplacement le long d'un grand cercle d'une sphĂšre, comme la Terre (voir CoordonnĂ©es gĂ©ographiques), Mars ou la sphĂšre cĂ©leste[2]. Le rapport entre 365,25 (nombre de jours moyen de la rotation de la Terre autour du Soleil) et 360° (tour complet) permet d'Ă©tablir l'approximation suivante : « La Terre tourne d'environ un degrĂ© autour du Soleil chaque jour ».
Historique et généralités
Le degrĂ©, divisĂ© en minutes et secondes qui sont des soixantiĂšmes, vient des Babyloniens, qui comptaient en base 60 (sexagĂ©simale) Ă l'instar des Chinois[3] qui, il y a plus de 4 700 ans selon le calendrier chinois, utilisaient dĂ©jĂ 60 en fonction de leur astronomie et astrologie. Pour les Chinois, 60 correspond Ă un cycle temporel fondamental. Les mathĂ©maticiens persans ont poursuivi et mesurĂ© les angles cĂ©lestes et terrestres de la mĂȘme maniĂšre. La mesure du temps de cette façon, directement issue des angles astronomiques, en a dĂ©coulĂ©.
Plusieurs explications ont été données sur l'origine du découpage en 360°.
Comme l'annĂ©e durant laquelle la Terre fait le tour du Soleil dure 365 jours, chaque nuit les Ă©toiles tournent d'une fraction de tour (1/365 environ) par rapport Ă l'axe. La mesure de temps n'Ă©tant pas nĂ©cessairement prĂ©cise Ă ses dĂ©buts, le calendrier babylonien Ă©tait basĂ© sur une annĂ©e de 360 jours rĂ©partis en 12 mois de 30 jours, comme le montre la tablette Mul Apin. Il est possible que le degrĂ© ait Ă©tĂ© dĂ©fini comme la fraction d'angle de dĂ©calage entre le ciel d'une nuit et celui de la nuit suivante, Ă une mĂȘme heure (cf. Cosmologie), les Ă©toiles bougeant ainsi d'environ 30° entre deux lunes successives. Cette dĂ©finition devait nĂ©anmoins ĂȘtre approximative Ă 1 ou 2 % prĂšs.
L'explication gĂ©nĂ©ralement rĂ©pandue est que lâutilitĂ© originelle des 360° du systĂšme sexagĂ©simal est de faciliter le calcul des fractions (et des multiplications). En effet, 360 Ă©tant le multiple de 1, 2, 3 et 5, il se divise par ces nombres ainsi que par leur multiples 4, 6, 8, 9, 10, 12, 15, etc., ce qui simplifie la plupart des calculs et des conversions.
n | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 15/2 | 8 | 9 | 10 | 45/4 | 12 | 15 | 18 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
360° / n | 180 | 120 | 90 | 72 | 60 | 48 | 45 | 40 | 36 | 32 | 30 | 24 | 20 |
60' ou " / n | 30 | 20 | 15 | 12 | 10 | 8 | 7.5 | 6.666 | 6 | 5.333 | 5 | 4 | 3.333 |
n | 2/9 | 1/4 | 4/15 | 3/10 | 1/3 | 3/8 | 2/5 | 5/12 | 4/9 | 7/15 | 8/15 | 5/9 | 7/12 | 3/5 | 5/8 | 2/3 | 7/10 | 11/15 | 3/4 | 7/9 | 4/5 | 5/6 | 7/8 | 8/9 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
n.360° | 80 | 90 | 96 | 108 | 120 | 135 | 144 | 150 | 160 | 168 | 192 | 200 | 210 | 216 | 225 | 240 | 252 | 264 | 270 | 280 | 288 | 300 | 315 | 320 |
Finalement, du fait que 360° Ă©gale 0°, on se retrouve Ă calculer en modulo 360 lorsque lâon parle en degrĂ©s. On peut souvent opĂ©rer les calculs dans les modulos infĂ©rieurs que sont les multiplicateurs de 360. Au plus simple, sept demi-tours valent un demi-tour. En langage mathĂ©matique : 7 ⥠1 (mod 2), sept est congru Ă un, modulo deux ; et 7 Ă 180° = 1260° ⥠180° (mod 360°). En pratique, on se contente de dire « sept fois cent quatre-vingts degrĂ©s est Ă©gal Ă cent quatre-vingts degrĂ©s ». De mĂȘme 120° + 270° = 390° ⥠30° (mod 360°).
Mais la réalité sur l'origine des 360 degrés est vraisemblablement différente. La figure géométrique la plus simple qui soit n'est pas le cercle, mais le triangle équilatéral, avec ses trois cÎtés et ses trois angles égaux. Il semble que les Sumériens, pour définir le degré d'angle, aient pris l'angle du triangle équilatéral comme référence et qu'ils l'ont, en application de leur base sexagésimale, divisé en 60 degrés, puis le degré en 60 minutes d'angle, puis la minute en 60 secondes d'angle.
La somme des angles d'un triangle Ă©tant Ă©gale Ă un angle plat (ou Ă deux angles droits), il s'en dĂ©duit que l'angle plat, qui est donc Ă©gal Ă 3 angles de triangle Ă©quilatĂ©ral, vaut 60Ă3=180 degrĂ©s, que l'angle droit qui en est la moitiĂ© vaut 90 degrĂ©s, et que le tour complet, qui vaut deux angles plats, mesure donc 360 degrĂ©s. Le degrĂ© serait plutĂŽt la 60e partie d'un angle de triangle Ă©quilatĂ©ral (angle de rĂ©fĂ©rence) et ce ne serait qu'en consĂ©quence de cette dĂ©finition qu'un tour complet mesurerait 360 degrĂ©s.
Par ailleurs, le fait que 360 soit un nombre divisible par beaucoup de nombres entiers ne doit rien au hasard. Il le doit Ă l'origine mĂȘme du systĂšme sexagĂ©simal utilisĂ© par les SumĂ©riens, puis par les Babyloniens, reposant sur une mĂ©thode de calcul sur les phalanges (qui serait encore en usage au ViĂȘt Nam). Ces peuples comptaient, sur une main, leurs phalanges avec le pouce ; le pouce dĂ©file sur les trois phalanges des quatre autres doigts, soit douze phalanges : on compte ainsi de 1 Ă 12, d'oĂč la base 12 initiale, nombre qui apparaĂźt dans d'autres circonstances : les 12 apĂŽtres, les 12 reprĂ©sentants des 12 tribus d'IsraĂ«l, les 12 heures du jour et les 12 heures de la nuit, etc. Ensuite, on utilise les doigts de l'autre main pour les retenues. Le pouce, en opposition Ă l'un des quatre autres doigts, permet de compter de 1 Ă 4 douzaines. Avec les deux mains, on compte ainsi jusqu'Ă 5 Ă 12 = 60.
Le nombre 360 est donc le rĂ©sultat de la multiplication de 3 phalanges Ă 4 doigts d'une main Ă 5 douzaines Ă 6 angles de rĂ©fĂ©rence pour un tour complet de cercle. Le fait qu'il y ait 360 degrĂ©s dans un cercle apparaĂźt ainsi Ă la fois en raison du nombre important des diviseurs de 360 et comme rĂ©sultat d'un calcul cohĂ©rent. Le triangle peut aussi Ă©voquer l'astronomie dans l'Ăgypte antique par l'entremise de son zodiaque de DendĂ©rah ou des multiples tombes au plafond astronomique, notamment celui de la tombe TT353 de SĂ©nĂšnmout qui savait qu'une journĂ©e compte 24 heures.
Mesure d'angle plan
Le degrĂ© dâarc (symbole « ° ») est une unitĂ© pratique dâangle plan. Un degrĂ© vaut Ï/180 radians, 10/9 grades ou 160/9 mils, soit 1/360 dâun tour complet.
Le degrĂ© dâarc permet de mesurer avec des entiers Ă la fois les angles d'une Ă©toile Ă cinq branches (36°) et ceux d'une Ă©toile Ă six branches (60°) â deux figures multimillĂ©naires â ainsi que les angles qu'ils forment avec leurs intersections, et les angles formĂ©s par ajouts ou suppressions d'angles.
MĂȘme s'il ne s'agit pas d'une unitĂ© du SystĂšme international (SI), son usage est acceptĂ© avec lui. Les prĂ©fixes du SI sont rarement appliquĂ©s aux symboles du degrĂ© dâarc et de ses subdivisions (uniquement Ă la seconde dâarc, en fait) ; ces symboles sont Ă©galement les seuls Ă ne pas ĂȘtre sĂ©parĂ©s du nombre les prĂ©cĂ©dant par une espace : on Ă©crit « 12° 30âČ Â» et non « 12 ° 30 âČ Â».
Mesure d'angle solide
En astronomie de position, le degré carré est utilisé pour mesurer un angle solide[4] sur la sphÚre céleste. Un degré carré vaut stéradian.
Sous-unités
Un degrĂ© est subdivisĂ© en 60 minutes dâarc (symbole « âČ Â»), elles-mĂȘmes divisĂ©es en 60 secondes dâarc (symbole « Ⳡ»).
- 1âČ = 0,016 6âŠÂ°
- 1âł = 0,000 277âŠÂ°
- 1⎠= 0,000 004629âŠÂ°
- 1â = 0,000 000 07716049382âŠÂ°
On utilise aussi frĂ©quemment la notation dĂ©cimale : on note aussi bien « 12,5° » que « 12° 30âČ Â», ou encore, « 48,59039° » que « 48° 35âČ 25,4Ⳡ». La prĂ©fĂ©rence dĂ©pend ici de l'outil de calcul ou de mesure.
Précautions de lecture
Les fonctions trigonomĂ©triques sont indĂ©pendantes de lâunitĂ© angulaire choisie. Mais en analyse, les fonctions sont dĂ©finies par les valeurs prises par les fonctions pour des variables exprimĂ©es en radians.
Pour un angle de mesure d°, exprimĂ©e en degrĂ©s, on a donc sin(d°) = sin(d Ă Ï180), et de mĂȘme pour les autres fonctions trigonomĂ©triques.
En astronomie ou en optique, on utilise lâapproximation pour les faibles angles (infĂ©rieurs Ă 5°). Le sinus et la tangente dâun angle faible sont donc quasi Ă©gaux Ă sa valeur en radians.
Similitudes
- La minute vaut 1/60 degrĂ©, la seconde 1/60 minute dâarc ; il nây a aucun lien dans la dĂ©finition avec les minutes et secondes horaires du cadran des montres, si ce n'est l'utilisation du systĂšme sexagĂ©simal.
- Les autres unitĂ©s homonymes « minute », « seconde » dâascension droite ou dâastronomie sont des mesures horaires utilisĂ©es surtout pour la mesure de la longitude cĂ©leste. En rĂšgle gĂ©nĂ©rale, quand aucune prĂ©cision nâest donnĂ©e, on parle de minutes et de seconde dâarc et non pas dâascension droite. MĂȘme en astronomie, on utilise Ă©galement les unitĂ©s dĂ©rivĂ©es du degrĂ© : le parsec, par exemple, est dĂ©fini par rapport Ă la seconde dâarc.
- De mĂȘme, toute unitĂ© dâangle ou de direction angulaire quâon appellerait « heure » nâa aucun lien dans sa dĂ©finition avec les minutes et secondes dâarc (il y a plusieurs unitĂ©s dont le nom comprend « heure » : voir les pages respectives pour les rapports de conversion, par exemple UnitĂ©s de l'ascension droite).
- Les fonctions trigonomĂ©triques peuvent ĂȘtre calculĂ©es Ă partir de la valeur de lâangle dans toute unitĂ©.
Notes et références
Notes
- Contrairement aux autres unitĂ©s de mesure (y compris les autres degrĂ©s utilisĂ©s en physique et en chimie), le symbole du degrĂ© d'angle suit immĂ©diatement la valeur, sans espace. On Ă©crira par exemple qu'un angle vaut 30°, mais une tempĂ©rature 30 °C. Il en est de mĂȘme pour les symboles de la minute d'arc et de la seconde d'arc : on Ă©crira par exemple qu'un angle vaut 29° 59' 30".
Références
- Informations lexicographiques et étymologiques de « Degré » (sens B2a) dans le Trésor de la langue française informatisé, sur le site du Centre national de ressources textuelles et lexicales
- (en) Petr Beckmann, A History of Pi (en), New York, St. Martin's Press, , 200 p., 21 cm (ISBN 978-0-312-38185-1, OCLC 20761271)
- Uranographie chinoise
- Michel Dubesset, Le manuel du SystĂšme international d'unitĂ©s : lexique et conversions, Paris, Technip, coll. « Publications de l'Institut français du pĂ©trole. / Cours de l'Ăcole nationale supĂ©rieure du pĂ©trole et des moteurs », , 169 p. (ISBN 978-2-7108-0762-9, lire en ligne)