Triangle équilatéral

À la différence des autres polygones, le triangle est une figure rigide, c'est-à-dire que la connaissance des longueurs des côtés détermine les mesures des angles internes, d'après le cas d'égalité des triangles issus des axiomes d'Euclide, ou sous une forme plus calculatoire avec le théorème d'Al Kashi. En particulier, dans le cas du triangle équilatéral, l'égalité des longueurs des côtés implique que les trois angles internes ont la même mesure. Or la somme des angles d'un triangle vaut 180°, donc chaque angle interne vaut un tiers de cette somme, donc 60°.

Triangle équilatéral avec céviennes, cercle inscrit et cercle circonscrit

Comme un triangle équilatéral est isocèle en chacun de ses sommets, chaque médiane est aussi une hauteur, bissectrice, et portée par la médiatrice du côté opposé. Ce segment partage le triangle en deux triangles rectangles symétriques dont l'hypoténuse mesure le double d'un autre côté. En notant a la longueur commune aux trois côtés, le théorème de Pythagore permet de montrer que cette hauteur mesure ${\displaystyle h=a{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$, donc l'aire s'écrit ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\frac {ah}{2}}=a^{2}{\frac {\sqrt {3}}{4}}}$. Le périmètre s'écrit simplement 2p = 3a.

La superposition des droites remarquables implique que le centre de gravité, situé aux deux tiers de la médiane en partant du sommet, est aussi le centre du cercle circonscrit qui passe par chacun des trois sommets. Le rayon de ce cercle vaut donc ${\displaystyle R={\frac {2}{3}}h={\frac {\sqrt {3}}{3}}a}$. Le cercle inscrit, de même centre, est tangent à chaque côté au bout d'un rayon qui lui est perpendiculaire, donc ce rayon est le dernier tiers de la médiane, et mesure ${\displaystyle r={\frac {\sqrt {3}}{6}}a}$.

Les trois cercles exinscrits ont pour rayon ${\displaystyle r_{A}=r_{B}=r_{C}={\frac {p}{p-a}}r=3r={\frac {\sqrt {3}}{2}}a}$.

Le quotient de l'aire du disque inscrit dans un triangle équilatéral par l'aire du triangle est égal à π/3√3 ≈ 0,604 599 (suite A073010 de l'OEIS).

Les médiatrices des côtés sont des axes de symétrie du triangle équilatéral, et les composées de ces symétries définissent deux rotations de 120° autour du centre du triangle. Avec l'identité, on obtient 6 transformations qui constituent le groupe de symétrie du triangle équilatéral, isomorphe au groupe diédral D₆, d'ordre 6.

Parmi les triangles (non réduits à un point), seuls les triangles équilatéraux admettent autant de symétries.

Les sommets d'un triangle équilatéral peuvent être obtenus à partir de deux axes de symétrie formant un angle de 60° et d'un point appartenant à un seul des deux axes. La réflexion de ce point par rapport au deuxième axe forme un deuxième sommet, qui donne lieu ensuite au troisième sommet après réflexion par rapport au premier axe. Cette construction est illustrée par le diagramme de Coxeter-Dynkin constitué de deux points (représentant chacun un axe) reliés par une arête (signifiant l'angle de 60°) avec un anneau autour du premier point (représentant le sommet initial).

Le symbole de Schläfli {3} indique simplement le nombre de côtés pour un polygone régulier.

• Géométrie classique
• Livre I des Éléments d'Euclide
• Trigonométrie
• Théorème de Viviani

(en) Triangle équilatéral sur le site Math Open Reference, avec une animation interactive.