Tétraèdre régulier

Tétraèdre régulier inscrit dans un cube

Si a est la longueur d'une arête :

• sa hauteur est égale à : ${\displaystyle H={\sqrt {\frac {2}{3}}}~a}$ ;
• son centre est situé, par rapport à la base, à : ${\displaystyle h={\frac {H}{4}}={\frac {a}{2{\sqrt {6}}}}}$ ;
• le rayon de sa sphère circonscrite est : ${\displaystyle R={\frac {3}{4}}H={\sqrt {\frac {3}{8}}}a}$ ;
• le rayon de sa sphère inscrite est : ${\displaystyle r={\frac {1}{3}}R={\frac {a}{\sqrt {24}}}}$ ;
• son aire est : ${\displaystyle A={\sqrt {3}}a^{2}}$ ;
• son volume est : ${\displaystyle V={\frac {a^{3}}{6{\sqrt {2}}}}}$ ;
• son angle dièdre vaut ${\displaystyle \arccos \left({\frac {1}{3}}\right)\simeq 70,5288^{\circ }}$ ;
• son angle central (c’est-à-dire celui que forment, deux à deux, les quatre segments qui partent du centre vers les quatre sommets) vaut ${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)\simeq 109^{\circ }28'}$ , double de l'angle dit « magique ».
• l'angle solide d'une face vue du sommet opposé vaut ${\displaystyle \arccos \left({\frac {23}{27}}\right)\simeq 0,55129}$ stéradians ;
• Les 4 points de coordonnées ${\displaystyle (1,1,1),(1,-1,-1),(-1,1,-1),(-1,-1,1)}$ sont les sommets d'un tétraèdre régulier d'arête a = 2√2 centré à l'origine, issu de quatre sommets d'un cube.

Autodualité du tétraèdre régulier.

Les isométries laissant globalement invariant le tétraèdre régulier forment un groupe isomorphe au groupe symétrique S₄ . Le sous-groupe des isométries positives est isomorphe au groupe alterné A₄.

Le tétraèdre régulier est son propre dual, c'est-à-dire qu'en joignant les centres de ses faces, on obtient un tétraèdre régulier semblable.

Il possède une coupe carrée, en prenant comme plan de coupe le plan parallèle à deux arêtes orthogonales, passant par le milieu des quatre autres arêtes.

Cette forme est utilisée pour fabriquer des dés à quatre faces et modélise certaines molécules ayant une géométrie moléculaire tétraédrique tel que le méthane.

Platon l'associait à l'élément naturel « feu ».

• Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Tétraèdre » (voir la liste des auteurs).

• (en) Eric W. Weisstein, « Regular Tetrahedron », sur MathWorld
• Robert Ferréol, « Tétraèdre », sur mathcurve