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Diagramme de Coxeter-Dynkin

En géométrie, un diagramme de Coxeter-Dynkin est un graphe représentant un ensemble relationnel de miroirs (ou d'hyperplans de réflexion) dans l'espace pour une construction kaléidoscopique.

Les groupes de Coxeter dans le plan avec les diagrammes Ă©quivalents. Les miroirs du domaine sont nommĂ©s par les arĂȘtes m1, m2, etc. Les sommets sont colorĂ©s par leur ordre de rĂ©flexion. Le groupe prismatique [W2xW2] est montrĂ© comme un doublement de R3, mais il peut aussi ĂȘtre crĂ©Ă© comme des domaines rectangulaires Ă  partir du doublement des triangles V3. Le P3 est un doublement du triangle V3.
Les groupes de Coxeter dans la sphÚre avec les diagrammes équivalents. Un domaine fondamental est bordé en jaune. Les sommets sont colorés par leur ordre de réflexion.
Les groupes de Coxeter dans l'espace tridimensionnel avec les diagrammes. Les miroirs (faces triangulaires) sont nommĂ©s par le sommet opposĂ© 0..3. Les arĂȘtes sont colorĂ©es par leur ordre de rĂ©flexion.
R4 remplit 1/24 du cube. S4 remplit 1/12 du cube. P4 remplit 1/6 du cube.

En tant que graphe lui-mĂȘme, le diagramme reprĂ©sente les groupes de Coxeter, chaque nƓud du graphe reprĂ©sente un miroir (facette du domaine) et chaque branche du graphe reprĂ©sente l'ordre de l'angle diĂ©dral entre deux miroirs (sur une arĂȘte du domaine).

En plus, les graphes ont des anneaux (cercles) autour des nƓuds pour les miroirs actifs reprĂ©sentant un polytope uniforme (en) prĂ©cis.

Le diagramme est issu du diagramme de Dynkin.

Description

Le diagramme peut aussi reprĂ©senter les polytopes en ajoutant des anneaux (des cercles) autour des nƓuds. Chaque diagramme doit avoir au moins un nƓud actif pour reprĂ©senter un polytope.

Les anneaux expriment une information : si un point générateur est dans ou en dehors du miroir. Plus précisément, un miroir est actif (il crée des réflexions) seulement lorsque des points sont en dehors du miroir, donc ajouter un anneau signifie qu'un point est en dehors du miroir et crée une réflexion.

Les arĂȘtes sont Ă©tiquetĂ©es avec un entier naturel n reprĂ©sentant un angle diĂ©dral de 180/n. Si une arĂȘte n'est pas Ă©tiquetĂ©e, elle est supposĂ©e ĂȘtre 3. Si n=2, l'angle est 90 degrĂ©s et les miroirs n'ont pas d'interaction, et l'arĂȘte peut ĂȘtre omise. Deux miroirs parallĂšles peuvent ĂȘtre marquĂ©s avec « ∞ ».

En principe, n miroirs peuvent ĂȘtre reprĂ©sentĂ©s par un graphe complet dans lequel toutes les n*(n-1)/2 sont dessinĂ©es. En pratique, les configurations intĂ©ressantes de miroirs incluront un nombre d'angles droits, et les arĂȘtes correspondantes peuvent ĂȘtre omises.

Les polytopes et les pavages peuvent ĂȘtre engendrĂ©s en utilisant ces miroirs et un point gĂ©nĂ©rateur unique. Les images miroir crĂ©ent des nouveaux points comme rĂ©flexions. Les arĂȘtes peuvent ĂȘtre crĂ©Ă©es entre les points et une image miroir. Les faces peuvent ĂȘtre construites par cycles d'arĂȘtes crĂ©Ă©es, etc.

Exemples

  • Un nƓud unique reprĂ©sente un miroir unique. Ceci est appelĂ© le groupe A1. S'il est annelĂ©, il crĂ©e un digone ou une arĂȘte perpendiculaire au miroir, reprĂ©sentĂ© par {} ou {2}.
  • Deux nƓuds non attachĂ©s reprĂ©sentent deux miroirs perpendiculaires. Si les deux nƓuds sont annelĂ©s, un rectangle peut ĂȘtre crĂ©Ă© ou un carrĂ© si le point est Ă  Ă©gale distance des deux miroirs.
  • Deux nƓuds attachĂ©s par une arĂȘte d'ordre n peut crĂ©er un n-gone si le point est sur un miroir, et un 2n-gone si le point est en dehors des deux miroirs. Ceci forme le groupe D2n.
  • Deux miroirs parallĂšles peuvent reprĂ©senter un groupe de polygone infini D2∞, aussi appelĂ© W2.
  • Trois miroirs dans un triangle forment des images vues dans un kalĂ©idoscope traditionnel et sont reprĂ©sentĂ©es par 3 nƓuds attachĂ©s dans un triangle. En rĂ©pĂ©tant les exemples auront des arĂȘtes Ă©tiquetĂ©es comme (3 3 3), (2 4 4), (2 3 6), bien que les deux derniers peuvent ĂȘtre dessinĂ©s dans une droite avec l'arĂȘte 2 ignorĂ©e. Ceux-ci engendreront les pavages uniformes.
  • Trois miroirs peuvent engendrer les polyĂšdres uniformes, incluant les nombres rationnels est l'ensemble des triangles de Schwarz (en).
  • Trois miroirs avec un perpendiculaire aux deux autres peuvent former les prismes uniformes.

En gĂ©nĂ©ral, tous les n-polytopes rĂ©guliers, reprĂ©sentĂ©s par le symbole de SchlĂ€fli {p,q,r,...} peuvent avoir leur domaines fondamentaux reprĂ©sentĂ©s par un ensemble de n miroirs et sont reliĂ©s dans un diagramme de Coxeter-Dynkin dans une droite de nƓuds et d'arĂȘtes Ă©tiquetĂ©es par p,q,r...

Groupes finis de Coxeter

Les familles de polytopes convexes uniformes sont définis par les groupes de Coxeter.

Notes :

  • Trois symboles diffĂ©rents sont donnĂ©s pour les mĂȘmes groupes - une lettre/nombre, un ensemble de nombres avec des accolades et le diagramme de Coxeter.
  • Les groupes bifurquĂ©s Bn sont aussi donnĂ©s par la notation h[] reprĂ©sentant le fait que c'est une version demie ou alternĂ©e des groupes rĂ©guliers Cn.
  • Les groupes bifurquĂ©s Bn et En sont aussi Ă©tiquetĂ©s par un exposant [3a,b,c] oĂč a,b,c sont le nombre de segments dans chacune des 3 branches.
n A1+ B4+ C2+ D2p E6-8 F4 G2-4
1 A1=[]
2 A2=[3]
C2=[4]
D2p=[p]
G2=[5]
3 A3=[3ÂČ]
B3=A3=[30,1,1]
C3=[4,3]
G3=[5,3]
4 A4=[3Âł]
B4=h[4,3,3]=[31,1,1]
C4=[4,3ÂČ]
E4=A4=[30,2,1]
F4=[3,4,3]
G4=[5,3,3]
5 A5=[34]
B5=h[4,3Âł]=[32,1,1]
C5=[4,3Âł]
E5=B5=[31,2,1]
6 A6=[35]
B6=h[4,34]=[33,1,1]
C6=[4,34]
E6=[32,2,1]
7 A7=[36]
B7=h[4,35]=[34,1,1]
C7=[4,35]
E7=[33,2,1]
8 A8=[37]
B8=h[4,36]=[35,1,1]
C8=[4,36]
E8=[34,2,1]
9 A9=[38]
B9=h[4,37]=[36,1,1]
C9=[4,37]
10+ .. .. .. .. .. .. ..

(Note : les noms alternatifs comme les groupes de Lie simples (en) sont donnés.)

  1. An forme la famille des polytopes simpliciaux (mĂȘme nom : An).
  2. Bn est la famille des demi-hypercubes, commençant à n=4 avec le 24-cellules et n = 5 avec le penteract (aussi nommé Dn).
  3. Cn forme la famille des hypercubes (mĂȘme nom : Cn).
  4. D2n forme les polygones réguliers (aussi nommé I1n).
  5. E6,E7,E8 sont les gĂ©nĂ©rateurs des polytopes semi-rĂ©guliers de Gosset (mĂȘmes noms : E6,E7,E8).
  6. F4 est la famille du polychore 24-cellules (mĂȘme nom : F4).
  7. G3 est la famille du polyÚdre dodécaÚdre/icosaÚdre (aussi nommé H3).
  8. G4 est la famille du polychore 120-cellules/600-cellules (aussi nommé H4).

Les groupes de Coxeter infinis

Les familles de pavages uniformes convexes sont définis par les groupes de Coxeter.

Notes :

  • Les groupes rĂ©guliers (linĂ©aires) peuvent ĂȘtre donnĂ©s avec une notation Ă©quivalente avec des accolades.
  • Le groupe Sn peut aussi ĂȘtre Ă©tiquetĂ© par une notation h[] comme une moitiĂ© d'un rĂ©gulier.
  • Le groupe Qn peut aussi ĂȘtre Ă©tiquetĂ© par une notation q[] comme un quart d'un rĂ©gulier.
  • Les groupes bifurquĂ©s Tn sont aussi Ă©tiquetĂ©s par une forme exposant [3a,b,c] oĂč a,b,c sont le nombre de segments dans chacune des 3 branches.
n P3+ Q5+ R3+ S4+ T7-9 U5 V3 W2
2 W2=[∞]
3 P3=h[6,3]
R3=[4,4]
V3=[6,3]
4 P4=q[4,3,4]
R4=[4,3,4]
S4=h[4,3,4]
5 P5
Q5=q[4,3ÂČ,4]
R5=[4,3ÂČ,4]
S5=h[4,3ÂČ,4]
U5=[3,4,3,3]
6 P6
Q6=q[4,3Âł,4]
R6=[4,3Âł,4]
S6=h[4,3Âł,4]
7 P7
Q7=q[4,34,4]
R7=[4,34,4]
S7=h[4,34,4]
T7=[32,2,2]
8 P8
Q8=q[4,35,4]
R8=[4,35,4]
S8=h[4,35,4]
T8=[33,3,1]
9 P9
Q9=q[4,36,4]
R9=[4,36,4]
S9=h[4,36,4]
T9=[35,2,1]
10 P10
Q10=q[4,37,4]
R10=[4,37,4]
S10=h[4,37,4]
11 ... ... ... ...

(Note : les noms alternatifs comme les groupes de Lie simples sont aussi donnés.)

  1. Pn est un groupe cyclique (aussi nommé ~An-1).
  2. Qn (aussi nommé ~Dn-1)
  3. Rn forme la famille de pavage régulier de l'hypercube {4,3,....} (aussi nommé ~Bn-1).
  4. Sn forme la famille de pavage alternée hypercubique (aussi nommé ~Cn-1).
  5. T7,T8,T9 sont les pavages de Gosset (aussi nommés ~E6,~E7,~E7).
  6. U5 est le pavage régulier du 24-cellules {3,4,3,3} (aussi nommé ~F4).
  7. V3 est le pavage hexagonal (aussi nommé ~H2).
  8. W2 est composé de deux miroirs parallÚles (aussi nommé ~I1).

Références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalitĂ© issu de l’article de WikipĂ©dia en anglais intitulĂ© « Coxeter–Dynkin diagram » (voir la liste des auteurs).
  • (en) Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, editied by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience, 1995 (ISBN 978-0-471-01003-6), paper 17 : The Evolution of Coxeter-Dynkin diagrams, [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233-248]
  • (en) H. S. M. Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover, 1999 (ISBN 978-0-486-40919-1) (Chapter 3: Wythoff's Construction for Uniform Polytopes)
  • (en) H. S. M. Coxeter, Regular Polytopes (Macmillian, 1963), 3e Ă©d., Dover, 1973 (ISBN 0-486-61480-8) (Chapter 5: The Kaleidoscope, and Section 11.3 Representation by graphs)

Voir aussi

Articles connexes

Lien externe

(en) [PDF] Regular Polytopes, Root Lattices, and Quasicrystals, R. Bruce King

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