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4-polytope uniforme

Un 4-polytope uniforme est, en géométrie, un 4-polytope isogonal dont les cellules sont des polyèdres uniformes. Il s'agit de l'équivalent de ces derniers en dimension 4.

Représentation du 120-cellules rectifié selon son diagramme de Schlegel
Diagramme de Schlegel du 120-cellules rectifié.

4-polytopes uniformes convexes

DĂ©nombrement

Si on ne compte pas l'ensemble infini des duoprismes et des hyperprismes antiprismatiques, il existe 64 4-polytopes uniformes convexes :

  • 4-polytopes non-prismatiques :
    • 9 de groupe de Coxeter A4 ;
    • 9 de groupe de Coxeter F4 ;
    • 15 de groupe de Coxeter B4 (dont 3 sont Ă©galement compris dans la famille prĂ©cĂ©dente) ;
    • 15 de groupe de Coxeter H4 ;
    • 1 forme adoucie spĂ©ciale dans le groupe F4 ;
    • 1 4-polytope spĂ©cial, le grand antiprisme ;
  • Prismes polyĂ©driques :

Les autres formes convexes sont générées par deux ensembles prismatiques infinis :

  • l'ensemble des hyperprismes antiprismatiques uniformes, prismes polyĂ©driques de deux antiprismes ;
  • l'ensemble des duoprismes uniformes.

A4

Les 4-polytopes uniformes dont le groupe de Coxeter est A4 sont au nombre de 9. Ils sont basés sur le 5-cellules (ou pentachore).

PolytopeSymbole de SchläfliDiagramme de Coxeter-DynkinCellulesFacesSegmentsSommets
5-cellules{3,3,3}510105
5-cellules rectifiét1{3,3,3}10303010
5-cellules tronquét0,1{3,3,3}10304020
5-cellules biseautét0,2{3,3,3}20809030
5-cellules augmentét0,3{3,3,3}30706020
5-cellules bitronquét1,2{3,3,3}10406030
5-cellules biseauté-tronquét0,1,2{3,3,3}208012060
5-cellules augmenté-tronquét0,1,3{3,3,3}3012015060
5-cellules omnitronquét0,1,2,3{3,3,3}30150240120

Caractéristiques

Les 4-polytopes uniformes dont le groupe de Coxeter est BC4 sont au nombre de 15.

8-cellules

Les 4-polytopes suivants sont basés sur le 8-cellules (ou tesseract).

PolytopeSymbole de SchläfliDiagramme de Coxeter-DynkinCellulesFacesSegmentsSommets
8-cellules{4,3,3}8243216
8-cellules rectifiét1{4,3,3}24889632
8-cellules tronquét0,1{4,3,3}248812864
8-cellules biseautét0,2{4,3,3}5624828896
8-cellules augmenté
(16-cellules augmenté)
t0,3{4,3,3}8020819264
8-cellules bitronqué
(16-cellules bitronqué)
t1,2{4,3,3}2412019296
8-cellules biseauté-tronquét0,1,2{4,3,3}56248384192
8-cellules augmenté-tronquét0,1,3{4,3,3}80368480192
8-cellules omnitronqué
(16-cellules omnitronqué)
t0,1,2,3{4,3,3}80464768384

16-cellules

Les 4-polytopes suivants sont basés sur le 16-cellules (ou hexadécachore).

PolytopeSymbole de SchläfliDiagramme de Coxeter-DynkinCellulesFacesSegmentsSommets
16-cellules{3,3,4}1632248
16-cellules rectifié
(24-cellules)
t1{3,3,4}24969624
16-cellules tronquét0,1{3,3,4}249612048
16-cellules biseauté
(24-cellules rectifié)
t0,2{3,3,4}4824028896
16-cellules augmenté
(8-cellules augmenté)
t0,3{3,3,4}8020819264
16-cellules bitronqué
(8-cellules bitronqué)
t1,2{3,3,4}2412019296
16-cellules biseauté-tronqué
(24-cellules tronqué)
t0,1,2{3,3,4}48240384192
16-cellules augmenté-tronquét0,1,3{3,3,4}80368480192
16-cellules omnitronqué
(8-cellules omnitronqué)
t0,1,2,3{3,3,4}80464768384

F4

Les 4-polytopes uniformes dont le groupe de Coxeter est F4 sont au nombre de 9. Ils sont basés sur le 24-cellules (ou icositétrachore).

PolytopeSymbole de SchläfliDiagramme de Coxeter-DynkinCellulesFacesSegmentsSommets
24-cellules
(16-cellules rectifié)
{3,3,4}24969624
24-cellules rectifié
(16-cellules biseauté)
t1{3,3,4}4824028896
24-cellules tronqué
(16-cellules biseauté-tronqué)
t0,1{3,3,4}48240384192
24-cellules biseautét0,2{3,3,4}144720864288
24-cellules augmentét0,3{3,3,4}240672576144
24-cellules bitronquét1,2{3,3,4}48336576288
24-cellules biseautĂ©-tronquĂ©t0,1,2{3,3,4}1447201 152576
24-cellules augmentĂ©-tronquĂ©t0,1,3{3,3,4}2401 1041 440576
24-cellules omnitronquĂ©t0,1,2,3{3,3,4}2401 3922 3041 152
24-cellules biseauté-tronqué alterné
(24-cellules adouci)
h0,1,2{3,3,4}14448043296

Caractéristiques

Les 4-polytopes uniformes dont le groupe de Coxeter est H4 sont au nombre de 15.

120-cellules

Les 4-polytopes suivants sont basés sur le 120-cellules (ou hécatonicosachore).

PolytopeSymbole de SchläfliDiagramme de Coxeter-DynkinCellulesFacesSegmentsSommets
120-cellules{5,3,3}1207201 200600
120-cellules rectifiĂ©t1{5,3,3}7203 1203 6001 200
120-cellules tronquĂ©t0,1{5,3,3}7203 1204 8002 400
120-cellules biseautĂ©t0,2{5,3,3}1 9209 12010 8003 600
120-cellules augmenté
(600-cellules augmenté)
t0,3{5,3,3}2 6407 4407 2002 400
120-cellules bitronqué
(600-cellules bitronqué)
t1,2{5,3,3}7204 3207 2003 600
120-cellules biseautĂ©-tronquĂ©t0,1,2{5,3,3}1 9209 12014 4007 200
120-cellules augmentĂ©-tronquĂ©t0,1,3{5,3,3}2 64013 44018 0007 200
120-cellules omnitronqué
(600-cellules omnitronqué)
t0,1,2,3{5,3,3}2 64017 04028 80014 400

600-cellules

Les 4-polytopes suivants sont basés sur le 600-cellules (ou hexacosichore).

PolytopeSymbole de SchläfliDiagramme de Coxeter-DynkinCellulesFacesSegmentsSommets
600-cellules{3,3,5}6001 200720120
600-cellules rectifiĂ©t1{3,3,5}7203 6003 600720
600-cellules tronquĂ©t0,1{3,3,5}7203 6004 3201 440
600-cellules biseautĂ©t0,2{3,3,5}1 4408 64010 8003 600
600-cellules augmenté
(120-cellules augmenté)
t0,3{3,3,5}2 6407 4407 2002 400
600-cellules bitronqué
(120-cellules bitronqué)
t1,2{3,3,5}7204 3207 2003 600
600-cellules biseautĂ©-tronquĂ©t0,1,2{3,3,5}1 4408 64014 4007 200
600-cellules augmentĂ©-tronquĂ©t0,1,3{3,3,5}2 64013 44018 0007 200
600-cellules omnitronqué
(120-cellules omnitronqué)
t0,1,2,3{3,3,5}2 64017 04028 80014 400

D4

Les 4-polytopes suivants sont basés sur le demitesseract. Ils sont déjà présents dans les autres constructions, mais sont indiqués ici pour mention de leur construction alternative.

PolytopeSymbole de SchläfliDiagramme de Coxeter-DynkinCellulesFacesSegmentsSommets
Demitesseract
(16-cellules)
{3,3,5}1632248
Demitesseract rectifié
(16-cellules tronqué)
t1{3,3,5}4824028896
Demitesseract tronqué
(8-cellules rectifié)
t0,1{3,3,5}249612048
Demitesseract biseauté
(8-cellules bitronqué)
t0,2{3,3,5}24889632
Demitesseract biseauté-tronqué
(24-cellules)
t0,1,2{3,3,5}24969624
Demitesseract augmenté-biseauté
(16-cellules biseauté)
t0,2,3{3,3,5}2412019296
Demitesseract omnitronqué
(16-cellules biseauté-tronqué)
t0,1,2,3{3,3,5}48240384192
Demitesseract adouci
(24-cellules adouci)
s{3,3,5}14448043296

Here again the snub 24-cell represents an alternated truncation of the truncated 24-cell, creating 96 new tetrahedra at the position of the deleted vertices. In contrast to its appearance within former groups as partly snubbed polychoron, only within this symmetry group it has the full analogy to the Kepler snubs, i.e. the snub cube and the snub dodecahedron.

Grand antiprisme

Le grand antiprisme comprend 20 antiprismes pentagonaux formant deux anneaux perpendiculaires, reliés par 300 tétraèdres.

PolytopeSymbole de SchläfliDiagramme de Coxeter-DynkinCellulesFacesSegmentsSommets
Grand antiprismeaucunaucun320720500100

Annexes

Liens internes

  • 4-polytope rĂ©gulier
  • 4-polytope semirĂ©gulier
  • Duoprisme

Liens externes

Références

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