Antiprisme

Les coordonnées cartésiennes pour les sommets d'un antiprisme droit avec des bases n-gonales et des triangles isocèles sont

${\displaystyle (\cos(k\pi /n),\sin(k\pi /n),(-1)^{k}a)\;}$

avec k compris entre 0 et 2n-1; si les triangles sont équilatéraux,

${\displaystyle 2a^{2}=\cos(\pi /n)-\cos(2\pi /n)\;}$.

Le groupe de symétrie d'un antiprisme droit à n côtés avec une base régulière et des faces en forme de triangles isocèles est D_nd d'ordre 4n, excepté dans le cas d'un tétraèdre, qui possède le groupe de symétrie plus grand T_d d'ordre 24, qui a trois versions de D_2d pour sous-groupes, et l'octaèdre, qui a le groupe symétrie plus grand O_d d'ordre 48, qui a quatre versions de D_3d pour sous-groupes.

Le groupe de symétrie contient une inversion si et seulement si n est impair.

Le groupe de rotation est D_n d'ordre 2n, excepté dans le cas du tétraèdre, qui a un groupe de rotation plus grand T d'ordre 12, qui a trois versions de D₂ comme sous-groupes, et l'octaèdre, qui a le groupe de rotation plus grand O d'ordre 24, qui a quatre versions de D₃ comme sous-groupes.

Pour tout antiprisme régulier d'arête a et d'ordre n :

• La hauteur vaut : ${\displaystyle h=a\times {\frac {1}{2}}{\sqrt {3-\tan ^{2}{\frac {\pi }{2n}}}}}$
• La surface totale vaut : ${\displaystyle A=a^{2}\times {\frac {n}{2}}{\biggl (}{\sqrt {3}}+{\frac {1}{\tan {\frac {\pi }{n}}}}{\biggl )}}$
• Le volume vaut[1] : ${\displaystyle V={\frac {h^{3}\times n}{6\tan {\frac {\pi }{2n}}}}}$

Si n=2 alors les deux faces n-gonales du dessus et du dessous sont des segments othogonaux entre eux, reliés par 4 triangles ; nous obtenons le tétraèdre.

Si n=3 alors nous avons seulement des triangles; nous obtenons l'octaèdre.

Les deux sont des types particuliers d'antiprismes triangulaires qui ont aussi chaque sommet et chaque arête uniforme, et donc, qui comptent parmi les solides de Platon.

Les polyèdres duaux des antiprismes sont les trapézoèdres. Leur existence fut discutée en premier et leur nom fut attribué par Johannes Kepler.

Ordre	3	4	5	6
Antiprisme
Trapézoèdre (dual)

Les antiprismes uniformes peuvent aussi être construits à partir des polygones étoilés : {n/m} = {5/2}, {7/3}, {7/4}, {8/3}, {9/2}, {9/4}, {10/3}…

Pour une paire d'entiers premiers entre eux n,m tel que 2 < n/m < 3, il existe deux formes :

• un antiprisme normal avec une configuration de sommet 3.3.3.n/m;
• un antiprisme croisé avec une configuration de sommet 3.3.3.n/(n-m).

• Patrons en papiers de prismes et antiprismes
• Les polyèdres uniformes
• Les polyèdres en réalité virtuelle L'encyclopédie des polyèdres
  • Modèles VRML (George Hart) <3> <4> <5> <6> <7> <8> <9> <10>