Polyèdre

Les polyèdres sont en général nommés selon leur nombre de faces. La nomenclature est basée sur le grec classique. On a ainsi, par exemple : tétraèdre (4 faces), pentaèdre (5 faces), hexaèdre (6 faces), heptaèdre (7 faces), triacontaèdre (30 faces), et ainsi de suite. Cette méthode de désignation a son équivalent dans la nomenclature des polygones[3].

Les arêtes ont deux caractéristiques importantes (à moins que le polyèdre ne soit complexe) :

• une arête joint simplement deux sommets ;
• une arête joint simplement deux faces.

Ces deux caractéristiques sont duales.

Un polyèdre est dit convexe si tout point de tout segment joignant deux points quelconques du polyèdre appartient au polyèdre. Autrement dit, un polyèdre est convexe si toutes ses diagonales sont entièrement contenues dans son intérieur. Il est possible de donner une définition barycentrique d'un tel polyèdre : c'est l'enveloppe convexe d'un ensemble fini de points non coplanaires.

Si un polyèdre est convexe alors toutes ses faces sont convexes. Mais la réciproque est fausse : nombreux sont les polyèdres non convexes ayant des faces convexes comme l'icosaèdre de Jessen ou le polyèdre de Császár.

Soit un polyèdre. Si l'on note :

• ${\displaystyle f}$ son nombre de faces,
• ${\displaystyle a}$ son nombre d'arêtes,
• ${\displaystyle s}$ son nombre de sommets,

on appelle caractéristique d'Euler le nombre

${\displaystyle \chi \equiv f-a+s}$

Pour un polyèdre convexe, cette caractéristique vaut toujours 2. C'est la relation d'Euler

${\displaystyle \chi \equiv f-a+s=2.}$

Pour chaque polyèdre, il existe un polyèdre dual ayant des faces à la place des sommets originaux et vice versa. Dans la plupart des cas, le dual peut être obtenu par le processus de réciprocité sphérique. Le dual d'un polyèdre régulier peut se construire en joignant les centres des faces adjacentes.

Un polyèdre possède au moins 4 faces, 4 sommets et 6 arêtes. Le plus petit polyèdre est le tétraèdre.

On peut définir diverses classes de polyèdres présentant des symétries particulières :

• polyèdres isogonaux (sommets uniformes) : si tous les sommets sont les mêmes, au sens où pour deux sommets quelconques, il existe une symétrie du polyèdre appliquant le premier isométriquement sur le deuxième ;
• polyèdres isotoxaux (arêtes uniformes) : si toutes les arêtes sont les mêmes, au sens où pour deux arêtes quelconques, il existe une symétrie du polyèdre appliquant le premier isométriquement sur le deuxième ;
• polyèdres isoédriques (faces uniformes) : si toutes les faces sont les mêmes, au sens où pour deux faces quelconques, il existe une symétrie du polyèdre appliquant le premier isométriquement sur le deuxième ;
• polyèdres quasi réguliers : d'arêtes uniformes mais pas de faces uniformes ou pas de sommets uniformes ;
• polyèdres semi-réguliers : de sommets uniformes mais pas de faces uniformes, et dont chaque face est un polygone régulier. (C'est une des nombreuses définitions du terme, dépendant de l'auteur, qui chevauchent la catégorie quasi régulière) ;
• polyèdres réguliers : de sommets uniformes, d'arêtes uniformes et de faces uniformes (l'uniformité des sommets et l'uniformité des arêtes combinées implique que les faces sont régulières) ;
• polyèdres uniformes : de sommets uniformes et dont chaque face est un polygone régulier, c.-à-d. réguliers ou semi-réguliers.

On appelle solide uniforme un solide dont toutes les faces sont régulières et tous les sommets identiques. Ainsi sont donc tous les solides réguliers et semi-réguliers précédents. Ils sont en tout 75, auxquels il faut ajouter les deux familles infinies des prismes et des antiprismes.

Bien sûr, il est facile de tordre de tels polyèdres, de telle façon qu'ils ne sont plus symétriques. Mais, lorsqu'un nom de polyèdre est donné, tel que l'icosidodécaèdre, la géométrie la plus symétrique est toujours impliquée, sauf indication contraire.

Les groupes de symétrie polyédriques sont tous des groupes ponctuels et incluent :

• T - symétrie tétraédrique chirale ; le groupe des rotations du tétraèdre régulier ; ordre 12.
• T_d - symétrie tétraédrique complète ; le groupe de symétrie du tétraèdre régulier ; ordre 24.
• T_h - symétrie pyritoédrique ; ordre 24. La symétrie d'un pyritoèdre[4].
• O - symétrie octaédrique chirale ; le groupe des rotations du cube et de l'octaèdre régulier ; ordre 24.
• O_h - symétrie octaédrique complète ; le groupe de symétrie du cube et de l'octaèdre régulier ; ordre 48.
• I - symétrie icosaédrique chirale ; le groupe des rotations de l'icosaèdre et du dodécaèdre régulier ; ordre 60.
• I_h - symétrie icosaédrique complète ; le groupe de symétrie de l'icosaèdre et du dodécaèdre régulier ; ordre 120.
• C_nv - symétrie pyramidale à n plis
• D_nh - symétrie prismatique à n plis
• D_nv - symétrie antiprismatique à n plis

Les polyèdres à symétrie chirale n'ont pas de symétrie axiale et par conséquent ont deux formes énantiomorphes qui sont les réflexions l'un de l'autre. Les polyèdres adoucis ont cette propriété.

Un polyèdre régulier possède des faces régulières et des sommets réguliers. Le dual d'un polyèdre régulier est aussi régulier.

Partons d'un sommet et prenons les points situés à une distance donnée sur chacune des arêtes. Relions ces points, nous obtenons le polygone du sommet. Si celui-ci est régulier on dit que le sommet est régulier. Un polyèdre est régulier s'il est constitué de faces toutes identiques et régulières, et que tous ses sommets sont identiques. Ils sont au nombre de neuf, classiquement répartis en deux familles :

• les cinq solides de Platon, ou polyèdres réguliers convexes : tétraèdre, cube, octaèdre, dodécaèdre régulier et icosaèdre réguliers. Platon considérait ces solides comme l'image de la perfection. Les mathématiques modernes rattachent ces exemples à la notion de groupe.

• Les cinq solides de Platon
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• les quatre polyèdres de Kepler-Poinsot, ou polyèdres réguliers étoilés.

Une face unique est colorée en jaune et entourée de rouge pour aider à identifier les faces.

Les polyèdres quasi réguliers sont à faces régulières, de sommet uniforme et d'arête uniforme. Il en existe deux convexes :

Les polyèdres duaux quasi réguliers sont d'arête uniforme et de face uniforme. Il en existe deux convexes, en correspondance avec les deux précédents :

Le terme semi-régulier est diversement défini. Une définition consiste en « des polyèdres de sommet uniforme avec deux sortes ou plus de faces polygonales ». Ils sont effectivement les polyèdres uniformes qui ne sont ni réguliers, ni quasi réguliers.

Un polyèdre est semi-régulier si ses faces sont constituées de plusieurs sortes de polygones réguliers, et que tous ses sommets sont identiques. Ainsi sont par exemple les solides d'Archimède, les prismes et les antiprismes réguliers. La terminologie ne paraît pas tout à fait arrêtée. On parle parfois de solides semi-réguliers de la première espèce pour désigner ceux de ces solides qui sont convexes, et de solides uniformes pour le cas général. Les polyèdres de Catalan ne sont pas semi-réguliers, mais ont des faces identiques et des sommets réguliers. On dit parfois de tels polyèdres qu'ils sont semi-réguliers de la seconde espèce.

Les polyèdres convexes et leurs duaux incluent les ensembles des :

Il existe aussi beaucoup de polyèdres uniformes non convexes, incluant des exemples de divers sortes de prismes.

Un polyèdre noble (en) est à la fois isoédrique (faces égales) et isogonal (de coins égaux). En plus des polyèdres réguliers, il existe beaucoup d'autres exemples.

Le dual d'un polyèdre noble est aussi un polyèdre noble.

Quelques familles de polyèdres, où chaque face est un polygone de même sorte :

• Les deltaèdres ont des triangles équilatéraux pour faces.
• En ce qui concerne les polyèdres dont les faces sont toutes des carrés : il n'existe que le cube, si les faces coplanaires ne sont pas permises, même si elles sont déconnectées. Autrement, il existe aussi le résultat du collage de six cubes sur les faces d'un seul, tous les sept de la même taille; il possède 30 faces carrées (comptant pour des faces déconnectées dans le même plan comme séparé). Ceci peut être étendu à une, deux ou trois directions : nous pouvons considérer l'union d'un grand nombre arbitraire de copies de ces structures, obtenues par translations de (exprimé en tailles de cubes) (2,0,0), (0,2,0), et/ou (0,0,2), par conséquent avec chaque paire adjacente ayant un cube en commun. Le résultat peut être un ensemble quelconque de cubes connectés avec les positions (a,b,c), avec les entiers a,b,c ou un au plus est pair.
• Il n'existe pas de nom particulier pour les polyèdres qui ont toutes les faces en forme de pentagones équilatéraux ou en pentagrammes. Il existe une infinité d'entre eux, mais seulement un est convexe : le dodécaèdre régulier. Le reste est assemblé par (collages) combinaisons de polyèdres réguliers décrit précédemment : le dodécaèdre régulier, le petit dodécaèdre étoilé, le grand dodécaèdre étoilé et le grand icosaèdre.

Il n'existe pas de polyèdre dont les faces sont toutes identiques et qui sont des polygones réguliers avec six côtés ou plus car le point de rencontre de trois hexagones réguliers définit un plan. (voir polyèdre oblique infini pour les exceptions).

Un deltaèdre est un polyèdre dont les faces sont toutes des triangles équilatéraux. Il en existe une infinité, mais seuls huit sont convexes :

• 3 polyèdres réguliers convexes (3 des solides de Platon)
  • tétraèdre
  • octaèdre
  • icosaèdre
• 5 polyèdres non uniformes convexes (5 des solides de Johnson)
  • diamant triangulaire
  • diamant pentagonal
  • disphénoïde adouci
  • prisme triangulaire triaugmenté
  • diamant carré gyroallongé

Norman Johnson a cherché les polyèdres non uniformes ayant des faces régulières. En 1966, il publia une liste de 92 solides convexes, maintenant connus comme les solides de Johnson, et leur donna leurs noms et leurs nombres. Il ne prouva pas qu'ils n'étaient que 92, mais il conjectura qu'il n'y en avait pas d'autres. Victor Zalgaller (en), en 1969, démontra que la liste de Johnson était complète.

Les pyramides sont autoduales.

La stellation d'un polyèdre est le processus d'expansion des faces (dans leurs plans), c’est-à-dire qu'elles se rencontrent pour former un nouveau polyèdre.

C'est la réciproque exacte du facettage qui est le processus d'enlèvement de parties d'un polyèdre sans créer de nouveau sommets quelconques. Le facettage permet d'obtenir, entre autres, de nombreux nouveaux solides semi-réguliers concaves. On construit de nouvelles faces régulières en regroupant les arêtes d'un polyèdre semi-régulier. Le plus simple est un héptaèdre construit à partir de l'octaèdre, constitué de trois faces carrées et de quatre faces triangulaires.

C'est l'opération qui consiste à raboter un sommet ou une arête. Elle conserve les symétries du solide.

Cette opération permet d'obtenir sept des solides d'Archimède à partir des solides de Platon. On remarque en effet qu'en rabotant de plus en plus les arêtes d'un cube on obtient successivement le cube tronqué, le cuboctaèdre, l'octaèdre tronqué et enfin l'octaèdre. On peut aussi suivre cette série dans l'autre sens.

En partant du dodécaèdre régulier on obtient le dodécaèdre tronqué, l'icosidodécaèdre, l'icosaèdre tronqué (qui donne sa forme au ballon de football), puis l'octaèdre.

Le tétraèdre donne le tétraèdre tronqué.

On peut appliquer cette opération au grand dodécaèdre ou au grand icosaèdre et obtenir des solides uniformes concaves.

À partir d'un cube, cette opération donne successivement un cuboctaèdre, puis un dodécaèdre rhombique.

À partir d'un dodécaèdre régulier, on obtient l'icosidodécaèdre puis le triacontaèdre rhombique.

Les composés polyédriques sont formés comme des composés de deux polyèdres et plus.

Ces composés partagent souvent les mêmes sommets que les autres polyèdres et sont souvent formés par stellation. Certains sont listés dans la liste des modèles de polyèdre de Wenninger (en).

Un zonoèdre est un polyèdre convexe où chaque face est un polygone avec une symétrie inverse ou, de manière équivalente, des rotations à 180°.

Un polyèdre complexe (en) est un polyèdre qui est construit dans un espace à trois dimensions complexes. Cet espace possède six dimensions : trois dimensions réelles correspondant à l'espace ordinaire, avec une dimension imaginaire accompagnant chacune[5].

Certains champs d'étude permettent aux polyèdres d'avoir des faces et des arêtes courbées.

La surface d'une sphère peut être divisée par des arcs de grands cercles (délimitant des régions appelées polygones sphériques) pour former un polyèdre sphérique. Ce point de vue est très adapté pour démontrer une grande partie de la théorie des polyèdres symétriques.

Les deux types importants sont :

• Les bulles dans les mousses et l'écume.
• Les formes remplissant l'espace utilisées en architecture[6].

Plus récemment, les mathématiciens ont défini un polyèdre comme un ensemble dans un espace affine réel (ou euclidien) de dimension quelconque n qui possède des côtés plats. Il peut être défini comme l'union d'un nombre fini de polyèdres convexes, où un polyèdre convexe est un ensemble quelconque qui est l'intersection d'un nombre fini de demi-espaces. Il peut être borné ou non borné. Dans ce sens, un polytope est un polyèdre borné.

Tous les polyèdres traditionnels sont des polyèdres généraux, et en plus, il existe des exemples tels que :

• Un quadrant dans le plan. Par exemple, la région du plan cartésien constituée de tous les points au-dessus de l'axe des abscisses et à droite de l'axe des ordonnées : { ( x, y ) | x ≥ 0, y ≥ 0 }. Ses côtés sont les deux axes positifs.
• Un octant dans l'espace à trois dimensions euclidien, { ( x, y, z ) | x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 }.
• Un prisme d'extension infinie. Par exemple, un prisme carré doublement infini dans l'espace tridimensionnel, constitué d'un carré dans le plan xy balayé le long de l'axe z : { ( x, y, z ) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 }.
• Chaque cellule dans un pavage de Voronoï est un polyèdre convexe. Dans le pavage de Voronoï d'un ensemble S, la cellule A correspondant à un point c∈S est bornée (et est par conséquent un polyèdre traditionnel) lorsque c est placé dans l'intérieur de l'enveloppe convexe de S, et autrement (lorsque c est placé sur la frontière de l'enveloppe convexe de S) A est non bornée.

• Guy Le Berre, L'Évasion des polyèdres, Mathématières, Quimper, 2006 (ISBN 2-9526355-0-1)
• (en) Branko Grünbaum, « Polyhedra with hollow faces », dans T. Bisztriczky, P. McMullen (en), R. Schneider et A. Ivić Weiss, Polytopes: Abstract, Convex and Computational, Springer, 1994 (DOI 10.1007/978-94-011-0924-6_3), p. 43-70
• (en) Branko Grünbaum, « Are your polyhedra the same as my polyhedra? », dans B. Aronov (en), S. Basu, J. Pach et M. Sharir (en), Discrete and Computational Geometry — The Goodman-Pollack Festschrift, Springer, 2003 (lire en ligne), p. 461-488
• Adrien Javary, Traité de géométrie descriptive, vol. 1 : La ligne droite, le plan, les polyèdres, 1881, [présentation en ligne], [lire en ligne] (sur Gallica)
• Louis Joly, Les Polyèdres réguliers, semi-réguliers et composés, Blanchard, 1992 (ISBN 2-85367-049-X)
• Michèle Minguin-Debray, L'Atelier des polyèdres, ACL-les Éditions du Kangourou, 2001 (ISBN 2-87694-085-X)
• Les dossiers du PLOT, Polyèdres dans l'espace, APMEP, mars 1987
• (en) Magnus Wenninger (en), Dual Models, CUP, 2003 (1^re éd. 1983), 172 p. (ISBN 978-0-521-54325-5, lire en ligne)

• Espace polyédrique (en)
• Polyèdre oblique infini
• Polyèdre idéal
• Polyèdre projectif (en)
• Polyèdre toroïdal (en)
• Polytope
• Polytope abstrait
• Théorème des quatre couleurs

• (en) Applet Java de projection de polytopes 4D dans l'espace 3D
• (fr) Pages très complètes, en français, avec des applets LiveGraphics3D
• (en) The Encyclopedia of Polyhedra

• Modèles polyédraux en papier Réseau de polyèdres gratuit
• Instructions simples pour construire plus de 30 polyèdres en papier
• Polyèdre à l'aide de lamination – Modèles polyédraux construits sans l'aide de colle.
• Adoptez un polyèdre - Affichage interactif, réseaux et données aux fins d'impression 3d pour tous les types combinatoires de polytopes jusqu'à 9 sommets