Cuboctaèdre

• Heléfantaèdre (Buckminster Fuller)
  • Fuller appliqua le nom « Dymaxion » et Vector Equilibrium[1] pour cette forme.
• Cube rectifié (en) ou octaèdre rectifié - (Norman Johnson)
  • Et tétraèdre biseauté par une symétrie plus basse.

L'aire ${\displaystyle A}$ et le volume ${\displaystyle V}$ d'un cuboctaèdre de côté ${\displaystyle a}$ sont donnés par

${\displaystyle A=(6+2{\sqrt {3}})a^{2}}$

${\displaystyle V={\begin{matrix}{5 \over 3}\end{matrix}}{\sqrt {2}}a^{3}}$

Un cuboctaèdre peut être obtenu en prenant une section plane appropriée d'un polytope en croix à quatre dimensions.

Un cuboctaèdre possède une symétrie octaédrique. Sa première stellation est le composé d'un cube et de son dual, l'octaèdre, avec les sommets du cuboctaèdre localisés au milieu des arêtes de l'autre.

Le cuboctaèdre est un cube rectifié et aussi un octaèdre rectifié.

C'est aussi un tétraèdre biseauté. Avec cette construction, on lui donne le symbole de Wythoff : 3 3 | 2.

Un biseautage de biais d'un tétraèdre produit un solide avec les faces parallèles à celles du cuboctaèdre, c’est-à-dire huit triangles de deux tailles et six rectangles. Alors que ses arêtes sont inégales, ce solide reste à sommets uniformes : le solide possède le groupe symétrique complet et ses sommets sont équivalents avec ce groupe.

Les arêtes d'un cuboctaèdre forment quatre hexagones réguliers. Si le cuboctaèdre est coupé dans le plan d'un de ces hexagones, chaque moitié est une coupole hexagonale (ou coupole triangulaire), un des solides de Johnson ; le cuboctaèdre lui-même peut ainsi être appelé une gyrobicoupole hexagonale (ou gyrobicoupole triangulaire), le plus simple d'une série (autre que le gyrobiprisme triangulaire ou « gyrobicoupole digonale »). Si les moitiés sont replacées ensemble avec une rotation, alors ces triangles rencontrent les triangles et les carrés rencontrent les carrés, le résultat est un autre solide de Johnson, l'orthobicoupole hexagonale.

Les centres des douze voisines d'une sphère centrale dans un réseau cubique à faces centrées sont les sommets d'un cuboctaèdre.

Les deux bicoupoles hexagonales sont importantes dans l'empilement compact. La distance à partir du centre du solide vers ses sommets est égale à sa longueur d'arête. Chaque sphère centrale peut avoir au plus douze voisines, et dans un réseau cubique à faces centrées, celles-ci prennent les positions des sommets d'un cuboctaèdre. Dans un réseau d'empilement compact hexagonal, ils correspondent aux coins des orthobicoupoles hexagonales. Dans les deux cas, la sphère centrale prend la position du centre du solide.

Les cuboctaèdres apparaissent comme des cellules dans trois des nids d’abeille uniformes convexes (en) et dans neuf des polychores uniformes.

Le volume du cuboctaèdre est 5/6 du cube circonscrit et 5/8 de l'octaèdre circonscrit ; c'est 5√2/3 fois le cube de la longueur d'une arête.

C'est le seul polyèdre semi-régulier dont la distance du centre de gravité aux sommets est égale aux arêtes.

Les coordonnées cartésiennes des sommets d'un cuboctaèdre (de longueur d'arête √2) centré à l'origine sont

(±1,±1,0)

(±1,0,±1)

(0,±1,±1)