Polyèdre régulier

Le tétraèdre régulier (de tétra, quatre, et èdre, base), polyèdre à 4 faces triangulaires,

• est constitué de 4 faces en triangle équilatéral,
• possède 4 sommets et 6 arêtes.

L'hexaèdre (de hexa, six, et èdre, base)

• est constitué de 6 faces carrées,
• possède 8 sommets et 12 arêtes,
• possède 24 triangles rectangles isocèles.

L'octaèdre (de octa, huit, et èdre, base)

• est constitué de 8 faces en triangle équilatéral,
• possède 6 sommets et 12 arêtes,
• possède 48 triangles rectangles scalènes.

Le dodécaèdre (de dodéca, douze, et èdre, base)

• est constitué de 12 faces pentagonales égales,
• possède 20 sommets et 30 arêtes.

L'icosaèdre (de icosa, vingt, et èdre, base)

• est constitué de 20 faces en triangle équilatéral,
• possède 12 sommets et 30 arêtes,
• possède 120 triangles rectangles scalènes.

Les centres des faces d'un solide de Platon sont les sommets d'un solide de Platon. Cette correspondance est interne parmi les tétraèdres ; elle échange cubes et octaèdres d'une part, dodécaèdres et icosaèdres d'autre part.

Platon considérait ces solides comme l'image de la perfection ; pour lui, comme il l'explique dans le Timée, le tétraèdre est le symbole du feu, l'octaèdre celui de l'air, l'icosaèdre celui de l'eau, le cube celui de la terre et le dodécaèdre celui de l'univers tout entier.

Deux mémoires de Cauchy au Journal de l'École polytechnique[1] traitent des polyèdres réguliers.

Les mathématiques classiques rattachent ces cinq solides réguliers à la notion de groupe.

Soient m le nombre d'arêtes d'une face, n le nombre de faces qui se rejoignent en un sommet du polyèdre ({m,n} est le symbole de Schläfli du polyèdre). Nous savons que :

• m et n sont des nombres entiers naturels ;
• m ≥ 3, car un polygone, figure en deux dimensions, possède au moins trois arêtes ;
• n ≥ 3, car un sommet dans un polyèdre, figure en trois dimensions, ne peut rejoindre moins de trois faces ;
• l'angle d'un m-polygone régulier vaut ${\displaystyle {\frac {180(m-2)}{m}}}$ degrés : 60 degrés pour un triangle équilatéral, 90 pour un carré, 108 pour un pentagone régulier, 120 pour un hexagone régulier, etc. ;
• la somme s des angles en un sommet est strictement inférieure à 360 degrés, sans quoi les faces sont coplanaires (s = 360 degrés) ou se chevauchent (s > 360 degrés).

Il s'agit donc de trouver toutes les solutions du système suivant :

${\displaystyle {\begin{cases}m,n\in \mathbb {N} \\m,n\geq 3\\s(m,n)={\frac {180n(m-2)}{m}}<360\end{cases}}}$

• Si m = 3 (faces triangulaires), alors les valeurs qui conviennent sont :
  • n = 3, car s(3,3) = 180 < 360 : c'est le tétraèdre
  • n = 4, car s(3,4) = 240 < 360 : c'est l'octaèdre
  • n = 5, car s(3,5) = 300 < 360 : c'est l'icosaèdre
  • Si n ≥ 6, alors le résultat est trop grand : s(3,6) = 360. On retrouve en effet six triangles équilatéraux ayant un sommet commun, formant donc un hexagone régulier plat.

• Si m = 4 (faces carrées), la seule solution est :
  • n = 3, car s(4,3) = 270 < 360 : c'est le cube
  • Si n ≥ 4, alors le résultat est trop grand : s(4,4) = 360. On retrouve en effet quatre carrés ayant un sommet commun, formant donc un carré plat.

• Si m = 5 (faces pentagonales) :
  • n = 3, car s(5,3) = 324 < 360 : c'est le dodécaèdre.
  • Si n ≥ 4, alors le résultat est trop grand : s(5,4) = 432 > 360.

Si m ≥ 6, il n'y a plus de solution : s(6,3) = 360 et si m ≥ 6 alors s(m,n) = > 360 pour tout n ≥ 3.

Cette méthode permet d'identifier également les polyèdres duaux, car il suffit d'inverser m et n pour obtenir le dual d'un polyèdre :

• le dual du tétraèdre {3,3} est le tétraèdre {3,3} lui-même ;
• le dual de l'octaèdre {3,4} est le cube {4,3} ;
• le dual de l'icosaèdre {3,5} est le dodécaèdre {5,3}.

On voit également que le tétraèdre est le seul autodual, car, une fois posé m = n, la seule solution entière de l'équation

${\displaystyle s(n,n)={\frac {180n(n-2)}{n}}=180(n-2)<360}$

est n = 3, puisque s(3,3) = 180 < 360 ; alors qu'avec n = 4, le résultat est trop grand : s(4,4) = 360.

• Les dômes géodésiques ou géodes
• Les polychores réguliers sont les analogues à 4 dimensions des polyèdres réguliers.

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