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Polyèdre isoédrique

En géométrie, un polytope de dimension 3 (un polyèdre) ou plus est dit isoédrique lorsque ses faces sont identiques. Plus précisément, toutes les faces ne doivent pas être simplement isométriques, mais doivent être transitives, c'est-à-dire qu'elles doivent se trouver dans la même orbite de symétrie. En d'autres termes, pour toutes les faces A et B, il doit y avoir une symétrie de l'ensemble du solide par rotations et réflexions qui envoie A sur B. Par exemple, les polyèdres isoédriques convexes fournissent des dés équitables.

Un jeu de dés isoédriques

Les polyèdres isoédriques sont appelés isoèdres. Ils peuvent être décrits par la configuration des faces. Un isoèdre à sommets réguliers est également transitive pour les arêtes (isotoxale) et est dite dualement quasirégulière. Un isoèdre a un nombre pair de faces.

Un polyèdre isoédrique a un polyèdre dual qui est isogonal, c'est-à-dire à sommets transitifs. Les solides de Catalan, les bipyramides et les trapézoèdres sont tous isoédriques. Ce sont les duaux des solides d'Archimède isogonaux, des prismes et des antiprismes, respectivement. Les solides de Platon, qui sont soit auto-duaux, soit doubles avec un autre solide de Platon, sont isogonaux, isotoxaux et isoédriques. Un polyèdre isoédrique et isogonal est dit noble (en).

Tous les isozonoèdres[1] ne sont pas isoèdres[2]. Exemple : un icosaèdre rhombique est un isozonoèdre non isoèdrique[3].

Exemples

Convexe Concave




La bipyramide hexagonale, V4.4.6 est un exemple non régulier de polyèdre isoédrique.




Le pavage du Caire, V3.3.4.3.4




Le nid d'abeilles dodécaédrique rhombique est un exemple de nid d'abeilles isoédrique (et isochore) remplissant l'espace.



Carrelage carré topologique.

Classes d'isoèdres par symétrie

Faces config. des faces Classe Nom Symmétrie Ordre Convexe Coplanaire Non convexe
4 V33 Platonique tétraèdre

tétraèdre équiface

disphénoïde rhombique
Td, [3,3], (*332)

D2d, [2+,2], (2*)

D2, [2,2]+, (222)
24

4

4

4
Tetrahedron
6 V34 Platonique cube

Trapézoèdre trigonal

Trapézoèdre trigonal asymétrique
Oh, [4,3], (*432)

D3d, [2+,6]

(2*3)

D3

[2,3]+, (223)
48

12

12

6
Cube
8 V43 Platonique octaère

bipyramide carré

bipyramide rhombique

scalénoère carré
Oh, [4,3], (*432)

D4h,[2,4],(*224)

D2h,[2,2],(*222)

D2d,[2+,4],(2*2)
48

16

8

8
Octahedron
12 V35 Platonique dodécaère régulier

pyritoère

tétartoide
Ih, [5,3], (*532)

Th, [3+,4], (3*2)

T, [3,3]+, (*332)
120

24

12
Dodecahedron
20 V53 Platonique isocaère régulier Ih, [5,3], (*532) 120
12 V3.62 Catalan triakitétraèdre Td, [3,3], (*332) 24
12 V(3.4)2 Catalan dodécaèdre rhombique
dodécaère trapézoidal
Oh, [4,3], (*432)

Td, [3,3], (*332)
48

24
Rhombic dodecahedron
24 V3.82 Catalan triakioctaèdre Oh, [4,3], (*432) 48
24 V4.62 Catalan tétrakihexaèdre Oh, [4,3], (*432) 48 Tetrakis hexahedron
24 V3.43 Catalan icositétraèdre trapézoïdal Oh, [4,3], (*432) 48 Deltoidal icositetrahedron
48 V4.6.8 Catalan hexakioctaèdre Oh, [4,3], (*432) 48
24 V34.4 Catalan icositétraèdre pentagonal O, [4,3]+, (432) 24
30 V(3.5)2 Catalan triacontaèdre rhombique Ih, [5,3], (*532) 120
60 V3.102 Catalan triaki-icosaèdre Ih, [5,3], (*532) 120
60 V5.62 Catalan pentakidodécaèdre Ih, [5,3], (*532) 120
60 V3.4.5.4 Catalan hexacontaèdre trapézoïdal Ih, [5,3], (*532) 120
120 V4.6.10 Catalan hexaki-icosaèdre Ih, [5,3], (*532) 120
60 V34.5 Catalan hexacontaèdre pentagonal I, [5,3]+, (532) 60
2n V33.n Polaire antidiamant

antidiamant asymétrique
Dnd, [2+,2n], (2*n)

Dn, [2,n]+, (22n)
4n

2n


2n

4n
V42.n

V42.2n

V42.2n
Polaire bipyramide n-régulière

2n-bipyramide isotoxal

2n-scalénoère
Dnh, [2,n], (*22n)

Dnh, [2,n], (*22n)

Dnd, [2+,2n], (2*n)
4n

Termes connexes

Une figure est isochore est un n-polytope (n>3) ou un nid d'abeilles dont les cellules sont congruentes et transitives les unes avec les autres. En 4 dimensions, les polytopes isochores ont été dénombrés jusqu'à 20 cellules[4].

Une figure isotopiques est un polytope à n dimensions ou un nid d'abeilles, avec ses facettes ((n−1)- faces) congruentes et transitives. Le dual d'un isotope est un polytope isogonal.

Références

  1. (en) Weisstein, « Isozonohedron », mathworld.wolfram.com (consulté le )
  2. (en) Weisstein, « Isohedron », mathworld.wolfram.com (consulté le )
  3. (en) Weisstein, « Rhombic Icosahedron », mathworld.wolfram.com (consulté le )
  4. « Four Dimensional Dice Up To Twenty Sides », sur polytope.net (consulté le ).

Liens externes

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