Dé

Dés à la Japan Expo 2012. On peut apercevoir des dés en métal, brillants dans le noir, transparents ou avec des symboles runiques.

Dés à la Japan Expo 2012. On peut apercevoir des dés avec des symboles runiques Nains, steampunk ou pour le jeu L'Appel de Cthulhu.

Certains dés ont la forme d’un polyèdre autre que le cube. Jadis peu employés dans le jeu, ils sont devenus plus populaires depuis les années 1950, particulièrement après l’introduction des wargames, jeux de rôle, jeux de cartes à collectionner et de certains jeux de société. Ces dés sont généralement en plastique et leurs faces portent des nombres plutôt que des motifs de points.

S’il s’agit d’une nouveauté aux temps modernes, il semble que certaines cultures anciennes en ont utilisé (en particulier, deux dés icosaédriques datant de la Rome antique sont exposés au British Museum de Londres).

Les solides platoniciens sont utilisés de façon courante pour les dés à 4, 6, 8, 12 et 20 faces. D’autres formes peuvent être trouvées pour des dés à 2, 3, 5, 7, 10, 14, 16, 18, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 50, 60, 100 ou 120 faces, mais à part le dé à 10 faces, ils sont peu utilisés, à cause de leur rareté et aussi parce que la lecture du nombre devient difficile, les faces étant presque sur le même plan et la verticalité peu visible.

Un grand nombre de distributions de probabilités différentes peuvent être obtenues à l’aide de ces dés. Par exemple, deux dés à 10 faces peuvent être utilisés pour produire un nombre compris entre 1 et 100 (l’un des dés donnant le chiffre des dizaines, l’autre celui des unités, le tirage « 00 » correspondant à 100 ou 0 suivant le jeu pratiqué) afin d’obtenir une distribution linéaire de pourcentages. En additionnant les résultats de plusieurs dés, il est possible d’approcher une distribution normale ; en éliminant les tirages les plus (ou les moins) élevés, de modifier ces distributions, etc. à l’aide de ces techniques, les jeux peuvent approcher avec suffisamment de variété les probabilités des événements qu’ils simulent.

L’équiprobabilité de ces dés (c’est-à-dire la probabilité égale d’obtenir n’importe laquelle de ses faces) est sujette à controverse ; les dés à 6 faces utilisés dans les casinos ont l’obligation légale d’être équiprobables. Les procédés de fabrication utilisés pour les autres types de dés n’ont aucune obligation de ce genre.

Des dés sphériques existent aussi. Leur fonction est identique à celle des dés à 6 faces, mais ils possèdent une cavité interne octaédrique dans laquelle un poids se déplace et provoque leur arrêt dans une direction parmi six. Ils nécessitent cependant une surface plane et horizontale pour fonctionner correctement.

Dés polyédriques à 4, 6, 8, 10, 12 et 20 faces, couramment utilisés dans les jeux de rôle et les wargames.

Les formes les plus couramment utilisées, en dehors des dés cubiques à 6 faces, sont :

• le tétraèdre, un dé à 4 faces. Ces dés ne roulant quasiment pas, ils comportent trois nombres sur chaque face, chacun inscrit le long d’une arête, arrangés de telle façon que celui situé soit sur l’arête du bas soit sur le sommet des trois faces visibles soit le même ; ce nombre est celui pris en compte lors d’un lancer.
• l’octaèdre, un dé à 8 faces. Chaque face est triangulaire. La somme des faces opposées est généralement égale à 9.
• le trapézoèdre pentagonal, un dé à 10 faces. Le seul dé courant qui ne soit pas un solide platonicien. Il est utilisé le plus souvent par paire pour générer les nombres de 0 à 99, l’un figurant les dizaines (00, 10, 20… jusqu’à 90), l’autre les unités (de 0 à 9). La position des faces 00 et 0 représente 0 ou 100 selon le jeu.
• le dodécaèdre régulier, un dé à 12 faces. Chaque face est un pentagone régulier.
• l’icosaèdre, un dé à 20 faces.

Dans le domaine des wargames et des jeux de rôle, les dés sont notés en mettant le nombre de faces après : d4 (dé à quatre faces), d6, d8, d10, d12, d20 et d100 (ou d%, sous la forme de deux d10) sont les plus utilisés.

Il existe aussi des formes plus rares de dés non cubiques.

• 1 face : sphère où sont inscrits les chiffres de 1 à 6.
• 2 faces : cylindre. Il s’agit ni plus ni moins d’une pièce de monnaie possédant un 1 sur une face et un 2 sur l’autre. Lorsqu’un tel tirage est nécessaire, le tirage à pile ou face est traditionnellement employé.
• 3 faces : prisme triangulaire tronqué et arrondi, il est souvent remplacé par un dé à 6 faces dont le résultat est divisé par 2, arrondi à l’entier supérieur.
• 5 faces : prisme triangulaire.

Dé à 7 faces.

• 7 faces : prisme pentagonal.
• 14 faces : bipyramide heptagonale.
• 16 faces : bipyramide octogonale.
• 24 faces : tétrakihexaèdre.
• 30 faces : triacontaèdre rhombique.
• 34 faces : heptadecagonal trapezohedron.
• 37 faces, pour remplacer une roulette de casino.
• 50 faces : bipyramide icosakaipentagonale.
• 60 faces : pentakidodécaèdre ou hexacontaèdre trapézoïdal.
• 100 faces : zocchièdre.
• 120 faces : hexaki icosaèdre.

• 
  Dé à 2 faces (cylindre).
• 
  Dé à 3 faces.
• 
  Dé à 5 faces.
• 
  Dé à 6 faces sphérique.
• 
  Dé 6 sphérique ouvert, montrant son mécanisme.
• 
  Dé à 30 faces.
• 
  Dé à 34 faces.
• 
  Dé à 50 faces.
• 
  Dé à 60 faces.
• 
  Dé à 100 faces sphérique ou zocchièdre, ici de la marque Zocchihedron.
• 
  Dé à 120 faces.

Pour un simple lancer d’un seul dé à 6 faces équilibré, la probabilité d’obtenir n’importe quelle valeur 1 à 6 est exactement de ¹⁄₆. Le tirage suit donc une loi uniforme discrète. Le tirage de n dés suit une loi multinomiale dont les probabilités p₁, p₂, …, p₆ sont toutes égales à ¹⁄₆, si le dé n’est pas pipé.

Si on jette deux dés et qu’on additionne les nombres obtenus sur les deux faces supérieures, les tirages ne sont plus distribués de façon uniforme mais suivent une distribution triangulaire :

Le tirage le plus probable est alors 7.

Avec trois dés ou plus, la distribution se rapproche d’une distribution normale avec l’ajout de chaque dé (conséquence du théorème central limite). La distribution de probabilité exacte F_i pour un nombre ${\displaystyle i}$ de dés peut être calculée par convolution répétée de la distribution de probabilité d’un dé simple avec elle-même :

F_i(m ) = ∑_n F₁(n ) F_i-1(m - n ).

En s’inspirant de la toupie Sevivon, il est possible de construire des générateurs aléatoires de n’importe quelle valeur.

Un dé est dit « pipé » si la loi n’est plus uniforme. Lorsque c’est intentionnel, on s’arrange pour qu’un résultat sorte plus fréquemment, ou au contraire moins fréquemment, les autres faces ayant la même probabilité d’apparition entre elles. S’il s’agit d’un défaut non intentionnel, chaque face va avoir une probabilité propre.

Si l’on jette le dé plusieurs fois de suite, on ne va pas obtenir une alternance stricte de valeurs. Par exemple, si l’on tire un dé deux fois de suite, on a 6 chances sur 36, soit 16,66… % de chances, d’obtenir deux fois le même résultat (chaque doublon a ¹⁄₃₆ chances d’apparaître, et il y a 6 doublons) ; dans un cas sur six, on obtient deux fois le même lancer. La fréquence observée pour chaque événement va se voir s’approcher de la fréquence théorique sur un grand nombre de lancer, par exemple 100.

Si l’on fait n lancers, pour savoir si le dé est équilibré (c’est-à-dire si l’on a effectivement ¹⁄₆ de chances d’avoir chaque figure), il faut utiliser un test du χ² d’adéquation à cinq degrés de liberté (puisqu’il y a six résultats mais que leurs probabilités sont complémentaires). Le nombre de lancers minimal est de 30 (5 divisé par la fréquence théorique, ¹⁄₆ = 0,166…, cf. Test du χ² > Conditions du test). Si l’on appelle O_i le nombre de lancers donnant le chiffre i, on a le tableau de résultats suivant :

avec ∑_iO_i = n

Le χ² est

${\displaystyle \chi ^{2}=\sum _{i=1}^{6}{\frac {(\mathrm {O} _{i}-n\times 1/6)^{2}}{n\times 1/6}}={\frac {6}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{6}(\mathrm {O} _{i}-n/6)^{2}}$

Par exemple, si on fait un tirage avec un dé équilibré, le χ² est supérieur ou égal à 0,55 avec une probabilité de 0,99. Il est supérieur ou égal à 15,09 avec une probabilité de 0,01.

• Notices d'autorité :

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• (en) Dice (Wolfram MathWorld, analyse des probabilités aux dés)
• (en) Fair Dice (étude des différents polyèdres conduisant à des dés équilibrés)
• « Une collection de 150 dés de tous genres et de toutes cultures »^{(Archive.org • Wikiwix • Archive.is • Google • Que faire ?)}