Loi multinomiale

En théorie des probabilités, la loi multinomiale (aussi appelée distribution polynomiale[1]) généralise la loi binomiale. Tandis que la loi binomiale concerne le nombre de succès lors d'une série de $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes, comme dans le jeu de pile ou face, la loi multinomiale ne se restreint pas aux épreuves comportant deux issues. La loi multinomiale s'applique par exemple au cas de $n$ jets d'un dé à six faces : l'apparition du chiffre 1 seul peut être modélisé par une loi binomiale alors que l'ensemble des apparitions des faces 1 à 6 est modélisé par une loi multinomiale.

Multinomiale ou polynomiale



Paramètres	$n>0$ nombre d'épreuves (entier) $p_{1},\ldots p_{m}$ probabilités des événements ( ${\textstyle \sum p_{i}=1}$ )
Support	$N_{i}\in \{0,\dots ,n\}$ ${\textstyle \sum n_{i}=n\!}$
Fonction de masse	${\frac {n!}{n_{1}!\cdots n_{m}!}}p_{1}^{n_{1}}\cdots p_{m}^{n_{m}}$
Espérance	$E\left[N_{i}\right]=np_{i}$
Variance	${\mathrm {Var} }(N_{i})=np_{i}(1-p_{i})$ ${\mathrm {Cov} }(N_{i},N_{j})=-np_{i}p_{j}$ pour $i\neq j$
Fonction génératrice des moments	$\left(\sum _{i=1}^{m}p_{i}{\rm {e}}^{t_{i}}\right)^{n}$

Rappel sur la loi binomiale

Pile ou face.

On considère une pièce de monnaie où la probabilité d'obtenir « pile » est $p$ . On considère une variable aléatoire binomiale $X$ : il s'agit du nombre de « piles » obtenus pour $n$ lancers d'une pièce de monnaie. La loi de probabilité s'écrit

\mathbb {P} (X=k)={\frac {n!}{k!(n-k)!}}p^{k}(1-p)^{n-k}

Cette expression peut se réécrire de manière symétrique en faisant intervenir deux variables $N_{1}$ et $N_{2}$ dont la somme est égale à $n$ : $N_{1}$ est le nombre de « piles » obtenus durant $n$ lancers et $N_{2}$ est le nombre de « faces » obtenues durant ces $n$ lancers. Formellement,

N_{1}=X,\quad N_{2}=n-X,\quad p_{1}=p,\quad p_{2}=1-p

\mathbb {P} (N_{1}=n_{1},N_{2}=n_{2})={\frac {n!}{n_{1}!n_{2}!}}p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}

Définition

Un dé à six faces.

Dans le cas multinomial à $m\,$ résultats possibles au lieu de 2, les variables aléatoires deviennent $N_{i}\,$ , $i\in \{1,\ldots ,m\}\,$ et correspondent aux probabilités $p_{i}\,$ , $i\in \{1,\ldots ,m\}\,$ avec les contraintes

\sum _{i=1}^{m}n_{i}=n\quad \sum _{i=1}^{m}p_{i}=1

Par exemple, pour $n$ lancers d'un dé à six faces, $N_{i}\,$ est le nombre de fois où on obtient $i\in \{1,\ldots ,6\}\,$ . Pour un dé non pipé, on a $p_{i}={\frac {1}{6}}$ pour tout $i\in \{1,\ldots ,6\}\,$ . Si le dé est pipé, alors les valeurs $p_{i}\,$ sont différentes.

La loi de probabilité s'écrit alors, sous la condition portant sur la somme des variables :

\mathbb {P} (N_{1}=n_{1},\ldots N_{m}=n_{m})={\frac {n!}{n_{1}!\ldots n_{m}!}}p_{1}^{n_{1}}\ldots p_{m}^{n_{m}}={n \choose n_{1},n_{2},\ldots ,n_{m}}p_{1}^{n_{1}}\ldots p_{m}^{n_{m}}

Propriétés

Chacune des variables $N_{i}\,$ suit une loi binomiale dont l'espérance et la variance sont

\mathbb {E} (N_{i})=np_{i}\quad \operatorname {var} (N_{i})=np_{i}(1-p_{i})

et les covariances s'écrivent

\operatorname {cov} (N_{i},N_{j})=-np_{i}p_{j}\,

Approximation

Approximation par loi normale

Lorsque la variable aléatoire $N i$ devient assez grande, le théorème central limite montre qu'elle est raisonnablement approchée par une variable normale à laquelle correspond la variable centrée réduite ${\frac {N_{i}-np_{i}}{\sqrt {np_{i}(1-p_{i})}}}$ .

Références

Pierre Dagnélie, Statistiques théorique et appliquée, éditions de Boeck, Bruxelles, 2013.

Voir aussi

Lien interne

Coefficient multinomial

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Multinomial Distribution », sur MathWorld

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