Fonction de masse (probabilités)

La loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète. Le support est composé des singletons {1}, {3}, et {7}. Les probabilités associées sont respectivement 0,20, 0,50, et 0,30. Un ensemble ne contenant pas ces points se voit attribuer une probabilité nulle.

Soit ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )}$ un espace probabilisé.

On appelle fonction de masse de ${\displaystyle \mathbb {P} ,}$ et on note ${\displaystyle p,}$ la fonction de ${\displaystyle \Omega }$ dans ${\displaystyle [0,1]}$ définie par :

${\displaystyle \forall \omega \in \Omega ,\quad p(\omega )={\begin{cases}\mathbb {P} {\big (}\{\omega \}{\big )}&{\text{si }}\{\omega \}\in {\mathcal {A}},\\0&{\text{si }}\{\omega \}\notin {\mathcal {A}}.\end{cases}}}$

Si ${\displaystyle \mathbb {P} }$ est discrète, alors pour tout ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}:}$

${\displaystyle \mathbb {P} (A)=\sum _{\omega \in A\cap \Omega _{a}}p(\omega )=\sum _{\omega \in \Omega _{a}}p(\omega )\delta _{\omega }(A),}$

où ${\displaystyle \Omega _{a}\subset \Omega }$ est l'ensemble des atomes de ${\displaystyle \mathbb {P} ,}$ et ${\displaystyle \delta _{\omega }}$ la mesure de Dirac au point ${\displaystyle \omega .}$

Exemple

Un dé asiatique à six faces.

Lançons un dé équilibré à six faces. On a :

• L'univers des issues possibles est ${\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4,5,6\}.}$
• La tribu des événements possibles est ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {P}}{\big (}\{1,2,3,4,5,6\}{\big )}}$ (par exemple ; l'important est que ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ soit une tribu (sur ${\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}}$) qui contienne au moins les événements physiquement possibles de l'expérience aléatoire).

Le dé n'est pas pipé, donc les six issues possibles sont équiprobables ; or ${\displaystyle \mathbb {P} {\big (}\{1,2,3,4,5,6\}{\big )}=1,}$ donc chacune d'elles a la probabilité ${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}.}$

Dans cet exemple simple : ${\displaystyle \forall \omega \in \{1,2,3,4,5,6\},\ \{\omega \}\in {\mathcal {P}}{\big (}\{1,2,3,4,5,6\}{\big )}.}$

Donc la fonction de masse de ${\displaystyle \mathbb {P} ,}$ notée ${\displaystyle p,}$ de ${\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}}$ vers ${\displaystyle [0,1],}$ est définie par :

${\displaystyle \forall \omega \in \{1,2,3,4,5,6\},\quad p(\omega )=\mathbb {P} {\big (}\{\omega \}{\big )}={\tfrac {1}{6}}.}$

(Voir l'article Loi uniforme discrète pour une présentation mathématiquement un peu différente du lancer d’un même dé équilibré à six faces.)

Soit ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )}$ un espace probabilisé, ${\displaystyle ({\textsf {X}},{\mathcal {B}})}$ un espace probabilisable, et ${\displaystyle X:\Omega \longrightarrow {\textsf {X}}}$ une variable aléatoire.

On appelle fonction de masse de ${\displaystyle \mathbb {P} _{X},}$ et on note ${\displaystyle p_{X},}$ la fonction de ${\displaystyle {\textsf {X}}}$ dans ${\displaystyle [0,1]}$ définie par :

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall x\in {\textsf {X}},\quad p_{X}(x)&={\begin{cases}\mathbb {P} _{X}(\{x\})&{\text{si }}\{x\}\in {\mathcal {B}},{\color {royalblue}^{\mathbf {[} {\text{information douteuse}}\mathbf {]} }}\\0&{\text{si }}\{x\}\notin {\mathcal {B}}\$ ;{\color {royalblue}^{\mathbf {[} {\text{information douteuse}}\mathbf {]} }}\end{cases}}\\&={\begin{cases}\mathbb {P} _{X}(\{x\})&{\text{si }}x\in X(\Omega ),{\color {royalblue}^{\mathbf {[} {\text{information douteuse}}\mathbf {]} }}\\0&{\text{si }}x\notin X(\Omega ).\end{cases}}\end{aligned}}}

${\displaystyle \forall x\in {\textsf {X}},\quad p_{X}(x)={\begin{cases}\mathbb {P} _{X}{\big (}\{x\}{\big )}~~~{\text{(possiblement 0)}}&{\text{si }}(X=x)\in {\mathcal {A}},{\color {royalblue}^{\mathbf {[} {\text{suggestion de rectification}}\mathbf {]} }}\\0&{\text{si }}(X=x)\notin {\mathcal {A}}.{\color {royalblue}^{\mathbf {[} {\text{suggestion de rectification}}\mathbf {]} }}\end{cases}}}$

Si ${\displaystyle X}$ est discrète, alors pour tout ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}:}$

${\displaystyle \mathbb {P} _{X}(B)=\sum _{x\in B\cap {\textsf {X}}_{a}}p_{X}(x)=\sum _{x\in {\textsf {X}}_{a}}p_{X}(x)\delta _{x}(B),}$

où ${\displaystyle {\textsf {X}}_{a}\subset {\textsf {X}}}$ est l'ensemble des atomes de ${\displaystyle \mathbb {P} _{X},}$ et ${\displaystyle \delta _{x}}$ la mesure de Dirac au point ${\displaystyle x.}$

Le théorème de transfert donne, pour toute fonction ${\displaystyle \varphi$ :{\textsf {X}}\longrightarrow \mathbb {R} :}

${\displaystyle \mathbb {E} {\big (}\varphi (X){\big )}=\sum _{x\in {\textsf {X}}_{a}}\varphi (x)p_{X}(x).}$

Pour une loi continue, la fonction de masse est la fonction nulle, donc elle n'est pas pertinente. Si une loi continue n'est pas singulière (c.-à-d. si elle est absolument continue), on utilise sa densité de probabilité.

• (en) N.L. Johnson, S. Kotz et A. Kemp, Univariate Discrete Distributions, Wiley, p. 36 (ISBN 0-471-54897-9)

• Correction de continuité