Probabilité

Le premier usage du mot probabilité apparaît en 1370 avec la traduction de l'éthique à Nicomaque d'Aristote par Oresme, et désigne alors « le caractère de ce qui est probable »[a 3]. Le concept de probable chez Aristote (ἔνδοξον / éndoxοn, en grec) est ainsi défini dans les Topiques[5] :

« Sont probables les opinions qui sont reçues par tous les hommes, ou par la plupart d'entre eux, ou par les sages, et parmi ces derniers, soit par tous, soit par la plupart, soit enfin par les plus notables et les plus illustres. »

Ce qui rend une opinion probable chez Aristote est son caractère généralement admis[a 5]; ce n'est qu'avec la traduction de Cicéron des Topiques d'Aristote, qui traduit par probabilis ou par verisimilis, que la notion de vraisemblance est associée à celle de « probabilité », ce qui aura un impact au cours du Moyen Âge puis de la Renaissance, avec les commentaires successifs de l'œuvre d'Aristote[a 6].

Une phrase, situation ou proposition est vraie ou fausse. Sa probabilité est la « connaissance évidente de la vérité ou de la fausseté d'une proposition »[a 2]. La notion d'incertitude est quant à elle le défaut de cette connaissance. Pour une proposition, il existe alors trois cas[a 2] :

• la proposition est reconnue comme vraie avec certitude ;
• la proposition est reconnue comme fausse avec certitude ;
• elle est probable si on ne peut la reconnaître vraie ou fausse. Dans ce cas, il est possible de mesurer une certaine vraisemblance par la connaissance du nombre de conditions requises pour être reconnue vraie.

Cette représentation développée par Cramer permet de faire apparaître une manière de mesurer la notion d'incertitude ou de probabilité. Il donne alors la définition suivante de la probabilité :

Comme précisé précédemment, la notion de probabilité permet de quantifier le hasard. La formalisation du début du XX^e siècle est aujourd'hui unanimement utilisée. (par exemple, voir l'ouvrage de Jacod et Protter[6] pour cette section)

La probabilité d'un certain événement A, notée ${\displaystyle \mathbb {P} (A)}$, associe une valeur entre 0 et 1 que l'événement se réalise. Lorsque ${\displaystyle \mathbb {P} (A)=1}$, l'événement est dit presque sûr (ou quasi certain), c'est-à-dire qu'il a « toutes les chances » de se réaliser. À l'inverse si ${\displaystyle \mathbb {P} (A)=0}$, A est dit négligeable (ou quasi impossible), c'est-à-dire qu'il a une chance nulle de se réaliser.

La probabilité d'un événement A peut s'obtenir de manière fréquentiste, notamment lorsqu'il est possible de faire une expérience plusieurs fois et de compter le nombre de succès de l'expérience. En effet, si on effectue n fois une expérience indépendamment et que dans n_A fois des cas, l'événement A est réalisé, alors, la probabilité de A est donnée par : ${\displaystyle \mathbb {P} (A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n_{A}}{n}}}$. De manière plus probabiliste, lorsque le nombre de résultats possibles de l'expérience est fini et que ces résultats sont équiprobables, la probabilité de A est obtenue par : ${\displaystyle \mathbb {P} (A)={\frac {{\text{nombre de cas o}}\mathrm {\grave {u}} {\text{ }}A{\text{ se r}}\mathrm {\acute {e}} {\text{alise}}}{\text{nombre de cas possibles}}}}$.

Mathématiquement, l'événement A est un sous-ensemble d'un ensemble Ω qui représente toutes les éventualités possibles. Pour obtenir une théorie, des axiomes ont été proposés par Kolmogorov : la probabilité ${\displaystyle \mathbb {P} }$ doit vérifier :

1. pour tout événement A, ${\displaystyle 0\leq \mathbb {P} (A)\leq 1}$,
2. ${\displaystyle \mathbb {P} (\Omega )=1}$,
3. ${\displaystyle \mathbb {P} (A\cup B)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)}$ pour ${\displaystyle A\cap B=\emptyset }$.

Plus rigoureusement, l’ensemble Omega est muni d’une tribu, les événements sont les éléments de cette tribu, et la probabilité P est une application de Omega vers [0,1] vérifiant les propriétés précédentes, la propriété 3 étant demandée pour des unions dénombrables d’événements disjoints deux à deux.

Grâce à cette description, plusieurs notions peuvent s'écrire de manière mathématique.

Deux événements sont dits indépendants si le fait de connaître la probabilité du premier événement ne nous aide pas pour prévoir la probabilité du second et inversement. Mathématiquement, cela s'écrit : ${\displaystyle \mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (A)\mathbb {P} (B)}$. Par exemple, la probabilité d'obtenir un as à un premier jeté de dé et d'obtenir un as au deuxième jeté de dé est la multiplication des deux probabilités et vaut 1/36.

Il est possible de considérer la probabilité d'un événement (notons le A) conditionnellement à un autre (noté B). Lorsque les deux événements ne sont pas indépendants, le fait de connaître la probabilité de l'un influence la probabilité de l'autre par la formule : ${\displaystyle \mathbb {P} (A\mid B)=\mathbb {P} (A\cap B)/\mathbb {P} (B)}$. Par exemple, la probabilité d'obtenir la somme des deux dés égale à 12 lorsque le premier dé a donné 6 vaut 1/6.

Des formules existent pour pouvoir calculer beaucoup de types de probabilités. C'est le cas par exemple de la formule de Poincaré, de la formule des probabilités totales ou du théorème de Bayes.

Encouragé par Pascal, Christian Huygens publie De ratiociniis in ludo aleae (raisonnements sur les jeux de dés) en 1657. Ce livre est le premier ouvrage important sur les probabilités. Il y définit la notion d'espérance et y développe plusieurs problèmes de partages de gains lors de jeux ou de tirages dans des urnes[7]. Deux ouvrages fondateurs sont également à noter : Ars Conjectandi de Jacques Bernoulli (posthume, 1713) qui définit la notion de variable aléatoire et donne la première version de la loi des grands nombres[8], et Théorie de la probabilité d' Abraham de Moivre (1718) qui généralise l'usage de la combinatoire[9].

La théorie de la probabilité classique ne prend réellement son essor qu'avec les notions de mesure et d'ensembles mesurables qu'Émile Borel introduit en 1897. Cette notion de mesure est complétée par Henri Léon Lebesgue et sa théorie de l'intégration[10]. La première version moderne du théorème central limite est donnée par Alexandre Liapounov en 1901[11] et la première preuve du théorème moderne est donnée par Paul Lévy en 1910. En 1902, Andrei Markov introduit les chaînes de Markov[12] pour entreprendre une généralisation de la loi des grands nombres pour une suite d'expériences dépendant les unes des autres. Ces chaînes de Markov connaîtront de nombreuses applications, entre autres pour modéliser la diffusion ou pour l'indexation de sites internet par Google.

Il faudra attendre 1933 pour que la théorie des probabilités sorte d'un ensemble de méthodes et d'exemples divers et devienne une véritable théorie, axiomatisée par Kolmogorov[13].

Kiyoshi Itô met en place une théorie et un lemme qui porte son nom dans les années 1940[14]. Ceux-ci permettent de relier le calcul stochastique et les équations aux dérivées partielles, faisant ainsi le lien entre analyse et probabilités. Le mathématicien Wolfgang Doeblin avait de son côté ébauché une théorie similaire avant de se suicider à la défaite de son bataillon en juin 1940. Ses travaux furent envoyés à l'Académie des sciences dans un pli cacheté qui ne fut ouvert qu'en 2000[15].

Au début du XX^e siècle, Kolmogorov définit des axiomes mathématiques afin de pouvoir étudier le hasard. Ainsi il construit l'espace des possibles, appelé univers, qui contient tous les hasards possibles, il le munit d'un ensemble qui contient des sous-ensembles de l'univers, appelé tribu et vérifiant certaines hypothèses, et d'une mesure de probabilité qui permet de calculer les probabilités correspondantes. L'espace ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )}$ ainsi construit vérifie les trois axiomes des probabilités[16] :

1. (Positivité) la probabilité d'un événement est une valeur entre 0 et 1 : pour tout ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle 0\leq \mathbb {P} (A)\leq 1}$ ;
2. (Masse unitaire) la probabilité de l'univers est 1 : ${\displaystyle \mathbb {P} (\Omega )=1}$ ;
3. (Additivité) pour toute suite dénombrable d'événements ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots \in {\mathcal {A}}}$ disjoints deux à deux, c'est-à-dire tels que ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\emptyset }$ pour tous ${\displaystyle i\neq j}$, alors : ${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i\geq 1}A_{i}\right)=\sum _{i\geq 1}\mathbb {P} (A_{i})}$.

Afin de pouvoir mieux manipuler le hasard, il est commode d'utiliser une variable aléatoire. Elle peut être réelle, mais peut aussi être multidimensionnelle, ou même plus générale. Cette variable aléatoire réelle est, en théorie, une application (mesurable) : ${\displaystyle X:\Omega \rightarrow \mathbb {R} }$ [17] qui à chaque aléa ${\displaystyle \omega \in \Omega }$, associe le résultat de l'expérience : ${\displaystyle X(\omega )}$.

Cette variable possède une répartition de ses valeurs donnée par sa loi de probabilité, qui est une mesure. Cette dernière peut être représentée de nombreuses manières, les plus communes étant par l'utilisation de la fonction de répartition, la densité de probabilité (si elle existe) ou la fonction de masse, le cas échéant. De nombreuses propriétés des lois de probabilité, et donc des variables aléatoires, peuvent être étudiées : espérance, moments, indépendance entre plusieurs variables, etc.

Il est possible de considérer une infinité de variables aléatoires : ${\displaystyle (X_{n},n\in \mathbb {N} )}$. Dans ce cas, y a-t-il une limite possible? La question de notion de convergence aléatoire se pose alors. Il existe plusieurs types de convergences[18] : la convergence en loi qui est la convergence de la loi de la variable (en tant que mesure), la convergence en probabilité, la convergence presque sûre ou encore la convergence en moyenne.

De nombreux théorèmes limites existent alors. Les plus connus sont : la loi des grands nombres qui annonce que la moyenne des n premières variables aléatoires converge vers la moyenne théorique de la loi commune des variables aléatoires[19] ; le théorème central limite, qui donne la bonne renormalisation de la somme des variables aléatoires pour avoir une limite non triviale[20].

Le calcul stochastique est l'étude des phénomènes qui évoluent au cours du temps de manière aléatoire[21]. Le temps peut être modélisé de manière discrète, c'est-à-dire par les valeurs entières : ${\displaystyle 0,1,2,\dots }$, dans ce cas le phénomène est représenté par une suite (infinie) de variables aléatoires : ${\displaystyle (X_{n},n\geq 0)}$, c'est par exemple le cas d'une marche aléatoire ou d’une chaîne de Markov. Le temps peut également être modélisé de manière continue, c'est-à-dire par des valeurs réelles ${\displaystyle t\in \mathbb {R} _{+}}$ ou ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$, il s'agit alors d'un processus stochastique ${\displaystyle (X_{t},t\geq 0)}$.

Plusieurs propriétés sont alors liées au calcul stochastique : la propriété de Markov annonce que le mouvement futur du phénomène ne dépend que de l'état présent et non pas du mouvement passé ; la récurrence et la transience d'une chaîne de Markov assurent le retour ou le passage un nombre fini de fois en un état donné ; une martingale est un processus tel que l'état futur est déterminé en moyenne par l'état présent, etc.

La doctrine de la probabilité, autrement appelée probabilisme, est une théologie morale catholique qui s'est développée au cours du XVI^e siècle, sous l'influence, entre autres, de Bartolomé de Medina et des jésuites. Avec l'apparition de la doctrine de la probabilité, ce terme connaîtra un glissement sémantique pour finir par désigner, au milieu du XVII^e siècle, le caractère vraisemblable d'une idée.

La probabilité d'une opinion désigne alors, au milieu du XVII^e siècle, la probabilité qu'une opinion soit vraie. Ce n'est qu'à partir de la fin du XVII^e siècle, avec l'émergence de la probabilité mathématique, que la notion de probabilité ne concernera plus seulement les opinions et les idées, mais aussi les faits, et se rapprochera de la notion de hasard[b 2] que l'on connaît aujourd'hui.

Il existe plusieurs façons d'aborder les probabilités : le calcul a priori et le calcul a posteriori[25]. (voir la section interprétation des probabilités ci-dessus). Le calcul des probabilités a posteriori correspond à une attribution des valeurs des probabilités inconnues grâce au théorème de Bayes.

Pour estimer les probabilités, les estimateurs statistiques sont utilisés afin de mieux approcher la variable recherchée[26]. Un estimateur est une valeur calculée à partir d'un échantillon de la population totale étudiée. Un estimateur est bien choisi, c'est-à-dire qu'il donnera une bonne estimation des valeurs recherchées, si c'est un estimateur sans biais et convergent ; autrement dit la moyenne empirique approche la moyenne théorique et l'estimateur converge vers la bonne variable aléatoire lorsque la taille de l'échantillon augmente. La méthode du maximum de vraisemblance permet de choisir un bon estimateur.

Par ces méthodes, il est possible d’estimer les paramètres inconnus d'une loi de probabilité associée au phénomène étudié[27].

La révision bayésienne est une autre méthode pour le calcul des probabilités a posteriori[a 8]. Celle-ci se fait grâce au théorème de Bayes :${\displaystyle \mathbb {P} ({\textrm {hypothese}}|{\textrm {preuve}})={\frac {\mathbb {P} ({\textrm {preuve}}|{\textrm {hypothese}})\times \mathbb {P} ({\textrm {hypothese}})}{\mathbb {P} ({\textrm {preuve}})}}.}$ Dans cette formule, l'hypothèse représente ce que l'on suppose a priori sur le phénomène aléatoire, la preuve est une partie du phénomène que l'on connaît et que l'on peut mesurer. Le terme ${\displaystyle \mathbb {P} ({\textrm {preuve}}|{\textrm {hypothese}})}$ est appelé vraisemblance. Ainsi ${\displaystyle \mathbb {P} ({\textrm {hypothese}}|{\textrm {preuve}})}$ permet de mesurer la probabilité a posteriori de l'hypothèse que l'on fixe en tenant compte de la preuve.

La fréquence empirique permet d'estimer les probabilités. Dans un échantillon de n individus, il suffit de compter le nombre de fois où l'individu appartient à la catégorie A recherchée[28]. En notant ${\displaystyle n_{A}}$ ce nombre parmi les n tirages, la fréquence ${\displaystyle {\frac {n_{A}}{n}}}$ est proche de la probabilité ${\displaystyle \mathbb {P} (A)}$ recherchée. Lors de 400 lancers de pièces, s'il apparaît 198 fois le côté face, alors on en déduit que la probabilité d'obtenir face est approximativement ${\displaystyle \mathbb {P} ({\text{obtenir face}})\simeq {\frac {198}{400}}=0,495}$. C'est un cas particulier de la loi des grands nombres. 0,495 est la valeur estimée de ${\displaystyle \mathbb {P} ({\text{obtenir face}})}$.

Une liste de valeurs ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ est connue, elle est supposée être le résultat d’expériences indépendantes de loi normale dont la moyenne m est connue[27]. La question est de trouver l'écart type σ de la loi normale. La statistique T définie par ${\displaystyle T^{2}={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-m)^{2}}$ est un estimateur de σ, c'est-à-dire qu'il tend vers σ lorsque n tend vers l'infini.

On se demande quel temps il fera demain, la météo permet d'obtenir des informations supplémentaires. Certaines données sont alors connues : dans cet exemple, la probabilité que la météo annonce un beau temps sachant qu'il fera effectivement beau : ${\displaystyle \mathbb {P} (M|{\text{beau}})=0,9}$, la probabilité que la météo annonce un beau temps sachant qu'il pleuvra : ${\displaystyle \mathbb {P} (M|{\text{pleut}})=0,2}$.

Une hypothèse est choisie : par exemple ${\displaystyle \mathbb {P} ({\text{beau}})=1/2}$, c'est-à-dire que l'on considère, a priori, qu'il y a une chance sur deux qu'il fera beau demain.

Il est alors possible de calculer la probabilité que la météo annonce un beau temps :${\displaystyle \mathbb {P} (M)=\mathbb {P} (M|{\text{beau}})\mathbb {P} ({\text{beau}})+\mathbb {P} (M|{\text{pleut}})\mathbb {P} ({\text{pleut}})=0,9\times 1/2+0,2\times 1/2=0,55.}$ c'est-à-dire que la météo annonce un beau temps dans 55 % des cas. La probabilité qu'il fera beau demain sachant que la météo a annoncé beau temps est alors donnée par :${\displaystyle \mathbb {P} (\mathrm {beau} |M)={\frac {\mathbb {P} (M|{\textrm {beau}})\mathbb {P} ({\textrm {beau}})}{\mathbb {P} (M)}}=0,9\times 0,5/0,55.\approx 82\%.}$

Il est alors possible de réviser une deuxième fois l'hypothèse qu'il fera beau en regardant un deuxième bulletin météo d'une source différente. On prendrait alors comme nouvelle hypothèse la probabilité d'avoir un beau temps nouvellement calculée.

• Sylvie Méléard, Aléatoire - Introduction à la théorie et au calcul des probabilités, Éditions de l'École Polytechnique, 2010
• Claude Aslangul, Mathématiques pour physiciens, Université Pierre et Marie Curie, La science à Paris, 2004 (lire en ligne), chap. 8
• Jean Bertoin, Probabilités : cours de licence de mathématiques appliquées, 2000, 79 p. (lire en ligne)
• Bernard Courtebras, Mathématiser le hasard, Vuibert, 2008
• (en) Jean Jacod et Philip E. Protter, Probability Essentials, Springer, 2003, 254 p. (lire en ligne)
• Jean-François Le Gall, Intégration, Probabilités et Processus aléatoires : cours de l'ENS, 2006, 248 p. (lire en ligne)
• (en) Daniel Revuz et Marc Yor, Continuous martingales and Brownian motion, vol. 293, Springer, 2004, 3^e éd., 606 p. (lire en ligne)
• Gilbert Saporta, Probabilités, Analyse des données et Statistiques, Paris, Éditions Technip, 2006, 622 p. [détail des éditions] (ISBN 978-2-7108-0814-5, présentation en ligne).
• (en) Iakov Sinaï, Probability theory : An introductory course, Berlin/Heidelberg/Paris etc., Springer, 1992, 138 p. (ISBN 3-540-53348-6, lire en ligne)
• J Tricot, Les topiques, vol. V, t. 1 à 8, VRIN, 1990, 368 p. (lire en ligne)

• Journal électronique d'histoire des probabilités et de la statistique et site associé (articles, bibliographie, biographies)