Théorème de Bayes

Le théorème est également reformulé afin d'intégrer la fonction de vraisemblance marginale (en) (fonction de vraisemblance intégrant la constante de normalisation (en)). Il se formule ainsi :

Dans un univers ${\displaystyle \Omega }$, les partitions d'un ensemble ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$ (c'est-à-dire ${\displaystyle \ A_{i}\neq \varnothing \ \forall i,\ A_{i}\cap A_{j}=\varnothing \ \forall i\neq j}$ et ${\displaystyle \cup _{i=1}^{n}A_{i}=\Omega }$), la probabilité conditionnelle des évènements mutuellement exclusifs et exhaustifs (${\displaystyle \{A_{1},A_{2},...,A_{n}\}}$), à condition que ${\displaystyle P(B)\neq 0}$, en sachant ${\displaystyle B}$ se calcule :

${\displaystyle P(A_{i}|B)={\frac {P(B|A_{i})P(A_{i})}{P(B)}}={\frac {P(B|A_{i})P(A_{i})}{\sum _{j=1}^{n}P(B|A_{j})P(A_{j})}}}$, où :

• ${\displaystyle P(A)}$ et ${\displaystyle P(B)}$ sont les probabilités a priori de ${\displaystyle A}$ et de ${\displaystyle B}$ ;
• ${\displaystyle P(A\mid B)}$ est la probabilité conditionnelle de ${\displaystyle A}$ sachant ${\displaystyle B}$ ou probabilité a posteriori ;
• ${\displaystyle P(B\mid A)}$ est la probabilité conditionnelle de ${\displaystyle B}$ sachant ${\displaystyle A}$ ou probabilité a posteriori.

Le calcul de ${\displaystyle P(B)}$ dépend de son champ d'application. En sciences numériques, elle est nommée « preuve » pour désigner la fonction de vraisemblance marginale[12] et appliquée en médecine, elle désigne un rapport de vraisemblance[13].

Il peut également s'écrire :

${\displaystyle P(B)=P(A\cap B)+P({\bar {A}}\cap B)=P(B|A)P(A)+P(B|{\bar {A}})P({\bar {A}})}$

et :

${\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|{\bar {A}})P({\bar {A}})}}}$, où :

• ${\displaystyle {\bar {A}}}$ est le complémentaire de ${\displaystyle A}$. Plus généralement, si ${\displaystyle \{A_{i}\}}$ est un système quasi-complet d'évènements fini ou dénombrable,
• ${\displaystyle P(A_{i}|B)={\frac {P(B|A_{i})P(A_{i})}{\sum _{j}P(B|A_{j})P(A_{j})}}\,}$, pour tout évènement du système ${\displaystyle \{A_{i}\}}$.

Pour aboutir au théorème de Bayes, on part d’une des définitions de la probabilité conditionnelle :

${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\vert A)=P(B)\cdot P(A\vert B)}$

Cette formulation ne fait que traduire en langage mathématique des remarques relativement triviales :

• La probabilité ${\displaystyle P(A\cap B)}$ d'avoir observé les évènements A et B, en supposant par exemple que A arrive le premier, c'est la probabilité d'avoir l'évènement A, c'est-à-dire P(A), puis d'observer B lorsque A est présent, qui a alors (par définition) la probabilité P(B|A) .
• La valeur de la probabilité d'ensemble est donc le produit des deux probabilités de base : ${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\vert A)}$.
• Mais comme il est indifférent, pour observer A et B, de savoir dans quel ordre ils sont apparu, on a évidemment ${\displaystyle P(A)\cdot P(B\vert A)=P(B)\cdot P(A\vert B)}$

En divisant de part et d’autre par P(B), on obtient :

${\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B)}}}$

soit le théorème de Bayes.

À titre d’exemple, imaginons deux urnes remplies de boules. La première contient dix (10) boules noires et trente (30) blanches ; la seconde en a vingt (20) de chaque. On tire sans préférence particulière une des urnes au hasard et dans cette urne, on tire une boule au hasard. La boule est blanche. Quelle est la probabilité qu'on ait tiré cette boule dans la première urne sachant qu'elle est blanche ?

Intuitivement, on comprend bien qu'il est plus probable que cette boule provienne de la première urne, que de la seconde. Donc, cette probabilité devrait être supérieure à 50 %. La réponse exacte (60 %) peut se calculer à partir du théorème de Bayes.

Soit H₁ l’hypothèse « On tire dans la première urne. » et H₂ l’hypothèse « On tire dans la seconde urne. ». Comme on tire sans préférence particulière, P(H₁) = P(H₂) ; de plus, comme on a certainement tiré dans une des deux urnes, la somme des deux probabilités vaut 1 : chacune vaut 50 %.

Notons D l’information donnée « On tire une boule blanche. » Comme on tire une boule au hasard dans une des urnes, la probabilité de D sachant l'hypothèse H₁ réalisée vaut :

${\displaystyle P(D|H_{1})={\frac {30}{40}}=75\,\%}$

De même la probabilité de D sachant l'hypothèse H₂ réalisée vaut :

${\displaystyle P(D|H_{2})={\frac {20}{40}}=50\,\%}$

La formule de Bayes dans le cas discret nous donne donc :

${\displaystyle {\begin{matrix}P(H_{1}|D)&=&\displaystyle {\frac {P(H_{1})\cdot P(D|H_{1})}{P(H_{1})\cdot P(D|H_{1})+P(H_{2})\cdot P(D|H_{2})}}\\\\\ &=&\displaystyle {\frac {50\%\cdot 75\%}{50\%\cdot 75\%+50\%\cdot 50\%}}\\\\\ &=&60\%\end{matrix}}}$

Avec :

${\displaystyle P(D)=P(H_{1})\cdot P(D|H_{1})+P(H_{2})\cdot P(D|H_{2})}$

Avant que l’on regarde la couleur de la boule, la probabilité d’avoir choisi la première urne est une probabilité a priori, P(H₁) soit 50 %. Après avoir regardé la boule, on révise notre jugement et on considère P(H₁|D), soit 60 %, ce qui confirme notre intuition première.

Les règles de la théorie mathématique des probabilités s’appliquent à des probabilités en tant que telles, pas uniquement à leur application en tant que fréquences relatives d’évènements aléatoires (voir Événement (probabilités)). On peut décider de les appliquer à des degrés de croyance en certaines propositions. Ces degrés de croyance s’affinent au regard d’expériences en appliquant le théorème de Bayes.

Le Théorème de Cox-Jaynes justifie aujourd’hui très bien cette approche, qui n’eut longtemps que des fondements intuitifs et empiriques.

Dans The Book of Why, Judea Pearl présente la règle de Bayes comme un cas particulier d'un réseau bayésien à deux nœuds et un lien. Les réseaux bayésiens constituent une extension de la règle de Bayes à des réseaux de plus grande taille[14].

Un problème régulièrement soulevé par l’approche bayésienne est le suivant : si une probabilité de comportement (délinquance, par exemple) est fortement dépendante de certains facteurs sociaux, culturels ou héréditaires, alors :

• d’un côté, on peut se demander si cela ne suppose pas une partielle réduction de responsabilité, morale à défaut de juridique, des délinquants. Ou, ce qui revient au même, à une augmentation de responsabilité de la société, qui n’a pas su ou pas pu neutraliser ces facteurs, comme elle aurait peut-être dû le faire.
• d’un autre côté, on peut souhaiter utiliser cette information pour orienter au mieux une politique de prévention, et il faut voir si l’intérêt public ou la morale s’accommoderont de cette discrimination de facto des citoyens (fût-elle positive).

Les statistiques ont été évoquées à plusieurs reprises dans les tribunaux[15] et dans certains cas impliquées dans des erreurs judiciaires importantes, comme les cas de Sally Clark ou de Lucia de Berk[16]. La formule de Bayes a été soit méconnue soit mal utilisée. Ainsi l'accusation estimait faible voire quasi nulle la probabilité pour un innocent d'être reconnu coupable en de tels cas. Ce n'est qu'après la sentence que des experts protestèrent et démontrèrent que cette probabilité prise en considération n'avait pas de sens et qu'il fallait au contraire étudier celles d'être coupable ou innocent sachant qu'il y a eu décès (ce qui donne des chiffres largement différents laissant place à un doute légitime). Pudiquement, on désigne par sophisme du procureur ces confusions entre probabilités conditionnelles.

Les faux positifs sont une difficulté inhérente à tous les tests : aucun test n’est parfait. Parfois, le résultat sera positif à tort, ce que l’on nomme parfois risque du premier ordre ou risque alpha.

Par exemple, quand on teste une personne pour savoir si elle est infectée par une maladie, il y a un risque, généralement infime, que le résultat soit positif, alors que le patient n’a pas contracté la maladie. Le problème alors n’est pas de mesurer ce risque dans l’absolu (avant de procéder au test), il faut encore déterminer la probabilité qu’un test positif le soit à tort. Nous allons montrer comment, dans le cas d’une maladie très rare, le même test, par ailleurs très fiable, peut aboutir à une nette majorité de positifs illégitimes.

Voici un exemple qui illustre ce phénomène, imaginons un test extrêmement fiable :

• si un patient a contracté la maladie, le test le fait remarquer, c’est-à-dire est positif, presque systématiquement, 99 % des fois, soit avec une probabilité 0,99 ;
• si un patient est sain, le test est correct, c’est-à-dire négatif dans 95 % des cas, soit avec une probabilité 0,95.

Imaginons que la maladie ne touche qu’une personne sur mille, soit avec une probabilité 0,001. Cela peut paraître peu, mais dans le cas d’une maladie mortelle, c’est considérable. Nous avons toutes les informations nécessaires pour déterminer la probabilité qu’un test soit positif à tort, ce qui peut causer un surdiagnostic.

Désignons par A l’événement « Le patient a contracté la maladie » et par B l’événement « Le test est positif ». La seconde forme du théorème de Bayes dans le cas discret donne alors :

${\displaystyle \mathbf {P} (A|B)={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B)}}={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|{\bar {A}})P({\bar {A}})}}={\frac {0{,}99\times 0{,}001}{0{,}99\times 0{,}001+0{,}05\times 0{,}999}}\approx 0{,}019.}$

Avec :

• ${\displaystyle P(A|B)}$ = la probabilité que le patient soit malade sachant que le test est positif
• ${\displaystyle P(B|A)}$ = la probabilité que le test soit positif sachant que la patient est malade
• ${\displaystyle P(A)}$ = la probabilité à priori que le patient soit malade
• ${\displaystyle P(B)}$ = la probabilité à priori que le test soit positif = ${\displaystyle P(B|A)P(A)+P(B|{\bar {A}})P({\bar {A}})}$, c'est à dire le cas où le patient est détecté positif alors qu'il est réellement malade (vrai positif) ainsi que le cas où le patient est détecté positif alors qu'il est sains (faux positif).

Traduit en langage courant, cette équation signifie que « la probabilité que le patient ait réellement contracté la maladie, quand le test est positif, n'est que de 1,9 % ». Sachant que le test est positif, la probabilité que le patient soit sain vaut donc environ : (1 − 0,019) = 0,981. Du fait du très petit nombre de malades, en effet,

• pratiquement tous les malades présentent un test positif, mais aussi
• pratiquement tous les tests positifs désignent des personnes saines.

Si le traitement est très lourd, coûteux ou dangereux pour un patient sain, il peut être alors opportun de faire subir, à tous les patients positifs, un test complémentaire (qui sera sans doute plus précis et plus coûteux, le premier test n’ayant servi qu’à écarter les cas les plus évidents).

On a tout de même réussi, avec le premier test, à isoler une population vingt fois moindre, qui contient pratiquement tous les malades. En effet, en enlevant les patients dont le test est négatif et qui sont donc supposés sains, on a ramené le rapport des malades sur la population étudiée d'un individu sur mille à un individu sur cinquante (P(A|B) est proche de 1/50). En procédant à d’autres tests, on peut espérer améliorer la fiabilité de la détection.

Le théorème de Bayes nous montre que dans le cas d’une probabilité faible de la maladie recherchée, le risque d’être déclaré positif à tort a un impact très fort sur la fiabilité. Le dépistage d'une maladie rare peut causer le surdiagnostic.

Cette erreur intuitive, commune, d'estimation est un biais cognitif appelé "oubli de la fréquence de base".

• (pt)/(it) Cet article est partiellement ou en totalité issu des articles intitulés en portugais « Teorema_de_Bayes » (voir la liste des auteurs) et en italien « Teorema_di_Bayes » (voir la liste des auteurs).

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• (en) T. Bayes « « An essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances » » (version du 26 janvier 2019 sur Internet Archive) (Bayes's essay in the original notation)
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• (fr) P.S. Laplace (1774) « Mémoire sur la Probabilité des Causes par les Événements, » Savants Étranges 6:621-656, ou bien Œuvres complètes 8:27-65.
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• (en) Jeff Miller Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (B) (very informative -- recommended)
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• Lê Nguyên Hoang, La formule du savoir : une philosophie unifiée fondée sur le théorème de Bayes, EDP Sciences, 2018. 402 p. (ISBN 978-2-7598-2260-7).
• (pt) Wilton de O. Bussab et Pedro A. Morettin, Estatística Básica, São Paulo, Saraiva, 2010, 540 p.

• Probabilité conditionnelle
• Statistique bayésienne
• Inférence bayésienne
• Fonction de vraisemblance
• Tableau de contingence
• Paradoxe de Hempel dit de l'ornithologie en chambre
• Rasoir d'Occam ou Argument (épistémologique) de parcimonie,
• Réseau bayésien
• Estimateur de Laplace–Bayes
• Bayésianisme

• (fr) Évaluation des indices en criminalistique par D^r Guillaume Boudarham

• Une formule mathématique universelle existe-t-elle ?, France Culture, Science publique, 9 novembre 2012