Rapport de vraisemblance

Un test médical est destiné à déterminer si une personne est malade (M) ou saine (S) en pratiquant un test (observation d'un symptôme ou analyse de laboratoire) qui se révèle positif (T₊) pour les personnes malades et négatifs (T_-) pour les personnes saines.

Dans l'idéal, il serait souhaitable que le test soit parfait, c'est-à-dire que 100% des malades aient un test positif et que 100% des personnes saines aient un test négatif. Mais c'est rarement le cas. La population se partage en 4 familles :

• les vrai positifs (VP) : les malades ayant un test positif ;
• les vrai négatifs (VN) : les personnes saines ayant un test négatif ;
• les faux négatifs (FN) : les malades ayant un test négatif ;
• les faux positifs (FP) : les personnes saines ayant un test positif.

On appelle sensibilité du test la proportion parmi les malades de ceux ayant un test positif : ${\displaystyle Se={\frac {VP}{VP+FN}}={\frac {p(M\cap T_{+})}{p(M)}}=p(T_{+}/M)}$ En statistique, une valeur comme ${\displaystyle p(T_{+}/M)}$ s'appelle la vraisemblance de T₊ pour M.

On appelle spécificité du test la proportion parmi les personnes saines de celles ayant un test négatif : ${\displaystyle Sp={\frac {VN}{VN+FP}}={\frac {p(S\cap T_{-})}{p(S)}}=p(T_{-}/S)}$

Si on connait (ou si on est capable d'estimer) le taux de prévalence de la maladie, c'est-à-dire la proportion de malades dans la population ${\displaystyle Pr={\frac {VP+FN}{VP+VN+FP+FN}}=p(M),}$ on est capable, grâce au théorème de Bayes d'évaluer, après le résultat du test, la probabilité a posteriori que la personne soit malade, cette quantité s'appelle aussi la valeur prédictive du test[6]:

• pour un test positif :${\displaystyle p(M/T_{+})={\frac {p(T_{+}/M)\times p(M)}{p(T_{+})}}={\frac {Se\times Pr}{(VP+FP)/(VP+VN+FP+FN)}}}$
• pour un test négatif : ${\displaystyle p(M/T_{-})={\frac {p(T_{-}/M)\times p(M)}{p(T_{-})}}={\frac {(1-Sp)\times Pr}{(VN+FN)/(VP+VN+FP+FN)}}}$

Une autre idée à l'origine des rapports de vraisemblance est de travailler sur la cote (odds en anglais) de la maladie, c'est-à-dire un rapport de chance entre être malade et ne pas l'être :

• pour un test positif ${\displaystyle {\frac {p(M/T_{+})}{p(S/T_{+})}}={\frac {p(T_{+}/M)}{p(T_{+}/S)}}\times {\frac {p(M)}{p(S)}}={\frac {Se}{1-Sp}}\times {\frac {Pr}{1-Pr}}}$
• pour un test négatif ${\displaystyle {\frac {p(M/T_{-})}{p(S/T_{-})}}={\frac {p(T_{-}/M)}{p(T_{-}/S)}}\times {\frac {p(M)}{p(S)}}={\frac {1-Se}{Sp}}\times {\frac {Pr}{1-Pr}}}$

Les rapports

• ${\displaystyle RV_{+}={\frac {p(T_{+}/M)}{p(T_{+}/S)}}={\frac {Se}{1-Sp}}}$
• ${\displaystyle RV_{-}={\frac {p(T_{-}/M)}{p(T_{-}/S)}}={\frac {1-Se}{Sp}}}$

sont des quotients de vraisemblances d'où leur nom de rapport de vraisemblance. Ce sont des facteurs correctifs permettant d'augmenter (dans le cas positif) ou diminuer (dans le cas négatif) la cote de la maladie. Ils sont indépendants de la prévalence, on parle de caractéristique intrinsèque du test[7].

Dans le cadre de la détection du cancer colorectal, un test est élaboré visant à détecter la présence de saignement occulte et testé sur échantillon de 2030 personnes se partageant en 4 groupes.

Ce tableau permet d'évaluer

• la prévalence : ${\displaystyle {\frac {\mathrm {Cancers~confirm{\acute {e}}s} }{\mathrm {Population~totale} }}={\frac {30}{2030}}\approx 1,47\%}$ ;
• la sensibilité : ${\displaystyle {\frac {\mathrm {Cancers~confirm{\acute {e}}s~avec~test~positif} }{\mathrm {Cancers~confirm{\acute {e}}s} }}={\frac {20}{30}}\approx 67\%}$ ;
• la spécificité : ${\displaystyle {\frac {\mathrm {Pas~de~cancer~et~test~n{\acute {e}}gatif} }{\mathrm {Pas~de~cancer} }}={\frac {1820}{2000}}=91\%}$ ;
• le rapport de vraisemblance positif : ${\displaystyle {\frac {\frac {\mathrm {Positif~et~canc{\acute {e}}reux} }{\mathrm {Canc{\acute {e}}reux} }}{\frac {\mathrm {Positif~et~sain} }{\mathrm {Sain} }}}={\frac {20/30}{180/2000}}\approx 7,4}$ ;
• le rapport de vraisemblance négatif : ${\displaystyle {\frac {\frac {\mathrm {N{\acute {e}}gatif~et~canc{\acute {e}}reux} }{\mathrm {Canc{\acute {e}}reux} }}{\frac {\mathrm {N{\acute {e}}gatif~et~sain} }{\mathrm {Sain} }}}={\frac {10/30}{1820/2000}}\approx 0,37.}$

Les rapports de vraisemblance ont une efficacité moyenne.

L'impact ici de la faible prévalence est important : pour un test positif, la probabilité a posteriori d'être malade augmente fortement - on passe de 30 malades sur 2030 en population pré-test à 20 malades sur 200 parmi les testés positifs - mais on a aussi une forte proportion de faux positif puisque 90% des positifs demeurent des personnes saines.

Pour le calcul des intervalles de confiance les rapports de vraisemblance peuvent être traités comme des proportions de risques.

Il est fréquent qu'un test ne donne pas une réponse par «oui» ou «non» mais une quantité chiffrée. Il s'agit alors de choisir la valeur à partir de laquelle le test est considéré comme positif. Un calcul de rapport de vraisemblance en faisant varier le barre de diagnostic permet d'affiner la prédiction.

Le rapport de vraisemblance est alors une fonction de θ où θ est la valeur à partir de laquelle on estime que le test est positif. Chaque rapport de vraisemblance conduit à une probabilité a posteriori (ou valeur prédictive du test) différente et permet au praticien, en fonction du score obtenu par le patient d'évaluer son risque d'être malade[8] - [10].

Les rapports de vraisemblance existent au delà du domaine médicale, en inférence bayésienne, comme rapport de deux fonctions de vraisemblance et servent à déterminer, à l'aide d'un test du rapport de vraisemblance, le meilleur paramètre pour une loi de probabilité.

En médecine, on trouve parfois le terme de rapport de vraisemblance (likelihood ratio) pour la quantité ${\displaystyle {\frac {p(T_{+}/M)}{p(T_{+})}}}$. Ce rapport est le facteur multiplicatif qui permet de passer de la prévalence à la probabilité a posteriori[11]:

${\displaystyle p(M/T_{+})={\frac {p(T_{+}/M)}{p(T_{+})}}p(M)}$.

• Attia, J (2003). Moving beyond sensitivity and specificity: using likelihood ratios to help interpret diagnostic tests. Austr Presc 26:111-113.
• Davidson, M (2002). The interpretation of diagnostic tests: a primer for physiotherapists. Australian Journal of Physiotherapy 48, 227-232.
• Deeks, J and Altman, D (2004). Diagnostic tests 4: likelihood ratios. BMJ 229:168-169.
• Pewsner, D, Battaglia, M, Minder, C, Marx, A, Bucher, H, Egger, M. (2004). Ruling a diagnosis in and out with “SpPIn” and “SnNOut”: a note of caution. BMJ 329:209-213.
• (en) Steven McGee, « Simplifying Likelihood Ratios », Journal of internal Medecine, vol. 17, n^o 8,‎ 2002, p. 647-650 (lire en ligne)