Test du rapport de vraisemblance

Si on appelle ${\displaystyle \theta }$ le vecteur des paramètres estimés par la méthode du maximum de vraisemblance, on considère un test du type[1] :

${\displaystyle H_{0}:\theta \in \Theta _{0}}$

contre

${\displaystyle H_{a}:\theta \notin \Theta _{0}}$

On définit alors ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$ l'estimateur du maximum de vraisemblance et ${\displaystyle {\widehat {\theta _{0}}}}$ l'estimateur du maximum de vraisemblance sous ${\displaystyle H_{0}}$. On définit enfin la statistique du test :

${\displaystyle \lambda =-2\log \left({\frac {{\mathcal {L}}({\hat {\theta _{0}}})}{{\mathcal {L}}({\widehat {\theta }})}}\right)}$

On sait que sous l'hypothèse nulle, la statistique du test du rapport de vraisemblance suit une loi du ${\displaystyle \chi ^{2}}$ avec un nombre de degrés de liberté égal au nombre de contraintes imposées par l'hypothèse nulle (p) :

${\displaystyle \lambda (x_{1},\ldots ,x_{n})\sim \chi ^{2}(p)}$

Par conséquent, on rejette le test au niveau ${\displaystyle \alpha }$ lorsque la statistique de test est supérieure au quantile d'ordre ${\displaystyle 1-\alpha }$ de la loi du ${\displaystyle \chi ^{2}}$ à p degrés de libertés.

On peut donc définir la valeur limite (p-value)[note 1] de ce test :

${\displaystyle {\text{p-value}}=1-F_{\chi _{p}^{2}}(\lambda )}$

• (en) Larry Wasserman, All of Statistics : A Concise Course in Statistical Inference, New York, Springer-Verlag, 15 septembre 2004, 461 p. (ISBN 978-0-387-40272-7, lire en ligne)