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Nomogramme

Un nomogramme est un outil graphique de calcul constitué de courbes graduées entre lesquelles on place une règle. Le résultat de l'opération se lit au croisement de la règle et de l'une des courbes représentées en rouge dans les exemples ci-dessous. Le terme a été créé par Maurice d'Ocagne qui fut le principal promoteur de cette technique au début du XXe siècle. L'art de créer des nomogrammes est la nomographie.

Nomogramme permettant de calculer S,R ou T, en fonction des deux autres variables, en tirant une droite entre ces deux variables.

Exemple

La parabole Ă  faire des multiplications.

La parabole ci-contre est doublement cotée, ce qui signifie qu’on considère comme séparées les deux moitiés de celle-ci, graduées respectivement en bleu et en cyan. L'axe de la parabole, en rouge, est également gradué, mais les graduations ne vont plus jusqu'à 10 comme sur les deux branches latérales, mais jusqu'à 100.

Utilisation de la parabole pour effectuer le produit de 6 par 8 (ou le quotient de 48 par 6).

Pour effectuer le produit de 6 par 8, il suffit de tirer un trait entre la graduation 6 de la branche bleue et la graduation 8 de la branche cyan. Ci-contre le trait est en marron, et on voit qu'il coupe l'axe rouge sur la graduation 48, ce qui confirme que : cette parabole est une machine à multiplier. Promue comme telle par Clark, elle semble inspirée par des recherches de paraboles dans la table de multiplication par August Ferdinand Möbius en 1841[1].

On peut manipuler ce nomogramme en ligne sur le site de l’IREM de l'université de La Réunion[2].

Remarque historique

Plusieurs auteurs récents[3] - [4] attribuent ce procédé de calcul à Yuri Matiyasevich, ce qui est impossible du point de vue chronologique (Matiyasevich a publié la recette du nomogramme en 1971[5]). Il est très possible qu'à l'époque il ait ignoré les travaux de Clark, vu le peu de renommée de ceux-ci.

Multiplication

L'utilisation de deux courbes pour les deux opérandes et une troisième pour le résultat peut se généraliser à toutes les opérations de deux variables du type . Il suffit pour cela de graduer les deux courbes bleue et cyan selon et respectivement. Ce qui permet, entre autres, de calculer la puissance électrique dans une résistance , l'énergie donnée par la masse par la relation d'Einstein E=mc2, la loi de Snell, etc.

Il est d'ailleurs parfaitement possible d'effectuer des divisions avec le nomogramme ci-dessus, en permutant les rĂ´les des points d'intersection.

Les exemples ci-dessous montrent donc tous des multiplications.

Autres exemples

Nomogramme à droites parallèles

Le nomogramme à droites parallèles, historiquement le premier du genre.

Le premier nomogramme publié par Maurice d'Ocagne[6] est formé de droites parallèles.

Le principe de son utilisation est simple : on repère sur les droites extrêmes les deux facteurs à multiplier (graduations respectivement bleue et cyan) et on tire entre les deux, un trait rectiligne.

Les graduations utilisent une échelle logarithmique et le principe du nomogramme est basé sur la conservation du milieu par projection.

On peut manipuler ce nomogramme en ligne sur le site de l’IREM de La Réunion[7].

Un nomogramme de ce type permet de calculer, à partir de la température de couleur de deux sources, en kelvins, leur écart en mireds 1/K1-1/K2[8]. C'est aussi sur ce principe que se fonde le nomogramme de Fagan pour la lecture des tests médicaux.

Nomogrammes de Clark

En 1907 et 1908, J. Clark, de l'école polytechnique du Caire, publia[9] une série d'articles où il expose l'utilisation par ses collègues de nomogrammes nouveaux. Il ébauche une théorie unificatrice de ces nomogrammes, qui utilisent des cubiques. En particulier, comme la parabole unie à son axe est une courbe cubique, la théorie de Clark explique le fonctionnement du nomogramme parabolique. Il l'étend à l'utilisation d'autres coniques.

Nomogramme circulaire

Le nomogramme circulaire de Clark, un cercle uni à un de ses diamètres.

Le cercle est une conique, ce qui donne lieu à ce nomogramme de multiplication. Comme précédemment, les facteurs se lisent sur les graduations bleue et cyan, entre lesquelles on trace (virtuellement) un trait, et on lit le produit sur la graduation rouge qui est alignée avec ces deux graduations.

On peut manipuler ce nomogramme en ligne sur le site de l’IREM de La Réunion[10].

Folium

Le nomogramme de Clark est un simple folium, triplement coté.

Le folium est aussi une courbe cubique, ce qui a permis à Clark de construire une courbe à multiplier unique, où la même courbe porte les graduations des facteurs et celles du produit. Ce nomogramme fut présenté au congrès de Cherbourg en 1905, où il bénéficia d'un franc succès.

On peut manipuler ce nomogramme en ligne sur le site de l’IREM de La Réunion[11].

Abaques

Il est constitué d’un réseau de courbes correspondant chacune à un paramètre et permettant de trouver une valeur numérique sans calcul explicite mais graphiquement. Par exemple :

  • la règle Ă  calcul
  • les abaques professionnels : ce sont des graphiques Ă  lecture directe facilitant les calculs numĂ©riques. Graphiques servant Ă  dĂ©terminer spontanĂ©ment des rĂ©sultats obtenus par des calculs dans un système de lignes prĂ©dĂ©finies et prĂ©parĂ©es d’avance. Le nom actuel serait nomogramme au sens Ă©tymologique du mot (de nomos : loi, division). ConstituĂ© sur la base de graphiques Ă  Ă©chelles diverses Ă©tablis par le tracĂ© de nombre de droites, souvent parallèles, rarement concourantes. Les abaques s’exploitent par une lecture directe, sans avoir Ă  effectuer de tracĂ©s complĂ©mentaires soit en lisant directement les donnĂ©es se situant Ă  l’intersection des droites correspondante par la lecture du point concourant en relation avec les besoins de l’intervenant.
    • abaque de Smith pour les calculs de lignes de transmission
    • abaque de Black dans le plan de Nichols en automatique
    • abaque des marĂ©es au SHOM
    • abaque de dĂ©pouillement, de Hull et Davay en cristallographie
    • le canevas de Wulff permet de travailler diverses questions de gĂ©omĂ©trie des directions en trois dimensions. Par exemple, il est possible de dĂ©terminer si une famille de plans partage une direction commune, si une famille de droites dĂ©finit un plan unique, si une droite mesurĂ©e ou donnĂ©e est situĂ©e dans un plan particulier ; ce nomogramme permet de dĂ©terminer la direction d'un plan (de sa normale en fait) Ă  partir d'une sĂ©rie de mesures de directions de droites prises dans ce plan ; il permet de calculer l'angle entre deux plans, ou de dĂ©terminer la position d'un plan ou d'une droite après rotation du système qui porte ce plan ou cette droite, d'un angle donnĂ© autour d'une direction donnĂ©e. C'est notamment un outil indispensable pour le gĂ©ologue sur le terrain Ă©tudiant la dĂ©formation d'une couverture sĂ©dimentaire (gĂ©ologie structurale), ou pour le tectonicien pour relever des donnĂ©es d'orientation de failles et de stries dans les plans de glissement de ces failles, afin de prĂ©ciser ou dĂ©terminer le tenseur des contraintes lithosphĂ©riques responsables de ces failles et stries.
    • abaque de magnitude en sismologie
    • abaque de lecture en microbiologie pour la constitution d’antibiogrammes
    • abaques de A. Lafay pour la rĂ©solution des triangles
    • abaque de conversion franc/euros, Celsius/Fahrenheit
    • abaque d'Heldio Lenz CĂ©sar en cartographie pour traiter le problème de la variation de surface d'un figurĂ© ponctuel ou d'une forme gĂ©omĂ©trique
    • Nomogramme de Henssge en mĂ©decine lĂ©gale pour la datation des cadavres

Notes et références

  1. August Ferdinand Möbius, Geometrische EigenSchaften einer FactorenTafel, J. reine angew. Math., 1841
  2. « Multiplicateur de Möbius - IREM de la Réunion », sur irem.univ-reunion.fr (consulté le ).
  3. Terracher, Maths Terminale S spécialité, 2000
  4. Maths 2nde, collection , 2010, page 103
  5. Voir le journal de Yuri Matiyasevich :
  6. M. d'Ocagne, Nomographie. Les calculs usuels effectués au moyen d'abaques, 1891.
  7. « Nomogramme à droites parallèles - IREM de la Réunion », sur irem.univ-reunion.fr (consulté le ).
  8. Publié dans le catalogue des filtres optiques Wratten (Kodak-Pathé, Filtres Kodak : pour usages scientifiques et techniques, , p. 21
  9. Théorie générale des abaques d'alignement de tout ordre, Journal de mécanique 21 et 22
  10. « Nomogramme circulaire de Clark - IREM de la Réunion », sur irem.univ-reunion.fr (consulté le ).
  11. « Nomogramme de Clark basé sur le folium - IREM de la Réunion », sur irem.univ-reunion.fr (consulté le ).

Annexes

Articles connexes

Liens externes

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