Unicursale

Une droite est unicursale puisqu'elle admet une représentation paramétrique de la forme

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x=x_{0}+at\\[3pt]y=y_{0}+bt\end{array}}\right.}$

où ${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$ sont les coordonnées d'un point de la droite, et ${\displaystyle {\vec {n}}{\binom {a}{b}}}$ un vecteur directeur de la droite.

Un cercle est unicursal. Dans le cas du cercle de centre l'origine du repère et de rayon 1, on a la représentation paramétrique suivante :

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x={\dfrac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\\[3pt]y={\dfrac {2t}{1+t^{2}}}\end{array}}\right.}$

En réalité, l'image de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ par cette fonction n'est pas le cercle entier puisqu'il manque le point de coordonnées ${\displaystyle \left(-1;0\right)}$. Mais on admet que ce point est l'image de ${\displaystyle \infty }$ par la représentation paramétrique. Ceci est un exemple de compactifié d'Alexandrov de ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Les coniques non dégénérées aussi sont unicursales ; voici par exemple la paramétrisation rationnelle d'une hyperbole équilatère :

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x={\dfrac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}\\[3pt]y={\dfrac {2t}{1-t^{2}}}\end{array}}\right.}$

En particulier, une courbe elliptique n’est pas unicursale.

Le folium de Descartes a pour représentation paramétrique

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x={\dfrac {3t}{1+t^{3}}}\\[3pt]y={\dfrac {3t^{2}}{1+t^{3}}}.\end{array}}\right.}$

Le point double est l'origine ${\displaystyle (0,0)}$ du repère, obtenue pour ${\displaystyle t=0}$ et pour ${\displaystyle t=\pm \infty }$.

De façon générale, les strophoïdes sont unicursales.

La parabole semi-cubique[2] admet pour représentation paramétrique

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x=t^{2}\\[3pt]y=t^{3}.\end{array}}\right.}$

Elle est même mieux que rationnelle, puisque ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ sont même des polynômes en ${\displaystyle t}$.

Un exemple de quartique unicursale est la lemniscate de Bernoulli dont une équation paramétrique est

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x={\dfrac {2t}{1+t^{4}}}\\[3pt]y={\dfrac {2t^{3}}{1+t^{4}}}.\end{array}}\right.}$

Par élimination de ${\displaystyle t}$ entre ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$, toute courbe unicursale est algébrique.

Une courbe algébrique n'est pas nécessairement unicursale. Elle l'est si et seulement si son genre est 0.

On peut montrer que la courbe affine plane d'équation ${\displaystyle (x^{2}-1)^{2}-2y^{3}-3y^{2}}$ est de genre 0. Elle est donc unicursale et admet un paramétrage rationnel, par exemple :

${\displaystyle {\begin{cases}x&=t(2t^{2}-3)\\y&=2t^{4}-4t^{2}+{\frac {1}{2}}\end{cases}}}$

avec ${\displaystyle t={\frac {xy}{x^{2}-y-1}}}$.

Coniques : Une conique dégénérée n'est pas unicursale, par exemple la « courbe » d'équation ${\displaystyle x^{2}=1}$ n'a pas de représentation paramétrique rationnelle (une fonction de ${\displaystyle t}$ qui ne prend que les valeurs 1 et –1 ne peut être rationnelle). Cependant, cette conique dégénérée est constituée de deux composantes, les deux droites d'équation ${\displaystyle x=1}$ et ${\displaystyle x=-1}$ qui sont chacune unicursale.

Cubiques : Les cubiques sans point double ne sont pas unicursales. En effet, leur genre vaut 1. Par contre, une cubique ayant un point double est de genre 0.

Si ${\displaystyle t\in \mathbb {Q} }$ (par exemple si ${\displaystyle t}$ est un entier), les coordonnées ${\displaystyle x(t)}$ et ${\displaystyle y(t)}$ sont elles-mêmes rationnelles. On peut donc utiliser la représentation paramétrique d'une courbe unicursale pour obtenir des points à coordonnées rationnelles de celle-ci.

Exemple : La recherche de points à coordonnées rationnelles sur le cercle unité (voir supra) est liée à celle des nombres pythagoriciens : avec ${\displaystyle t=5}$, on a

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x={\dfrac {1-5^{2}}{1+5^{2}}}={\dfrac {1-25}{1+25}}=-{\dfrac {24}{26}}=-{\dfrac {12}{13}}\\[4pt]y={\dfrac {2\times 5}{1+5^{2}}}={\dfrac {10}{1+25}}={\dfrac {5}{13}}\end{array}}\right.}$

où l'on reconnaît le triplet ${\displaystyle (5,12,13)}$.

Clark a utilisé les représentations paramétriques rationnelles du cercle et du folium pour créer des nomogrammes de multiplication (cercle doublement coté avec une droite cotée, folium triplement coté).