Parabole semi-cubique

Toute parabole semi-cubique (t² , at³) est similaire à la parabole unitaire semi-cubique (u² , u³).

Preuve : la similarité ${\displaystyle (x,y)\rightarrow (a^{2}x,a^{2}y)}$ (mise à l'échelle uniforme) cartographie la parabole semi-cubique ${\displaystyle (t^{2},at^{3})}$ sur la courbe ${\displaystyle ((at)^{2},(at)^{3})=(u^{2},u^{3})}$ avec u = at.

La représentation paramétrique (t² , at³) est régulière sauf au point (0 ; 0), où la courbe a une singularité (point de rebroussement). On le voit en remarquant que le vecteur tangent (2t , 3t²) est nul en t = 0.

Tangente d'une parabole semi-cubique

Par différenciation de la parabole semi-cubique unitaire ${\displaystyle y=\pm x^{\frac {3}{2}}}$ on obtient au point ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ de la branche supérieure l'équation de la tangente :

${\displaystyle y={\frac {\sqrt {x_{0}}}{2}}\left(3x-x_{0}\right).}$

Cette tangente coupe la branche inférieure exactement en un autre point de coordonnées [2]

${\displaystyle \left({\frac {x_{0}}{4}},-{\frac {y_{0}}{8}}\right).}$

Pour prouver cette affirmation, il faut utiliser le fait que la tangente rencontre la courbe deux fois en ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$.

Pour déterminer la longueur d'arc d'une courbe ${\displaystyle (x(t),y(t))}$, il faut calculer l'intégrale ${\displaystyle \int {\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\;\mathrm {d} t}$. Pour la parabole semi-cubique ${\displaystyle (t^{2},at^{3}),\;0\leq t\leq b}$, on obtient

${\displaystyle \int _{0}^{b}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\;\mathrm {d} t=\int _{0}^{b}t{\sqrt {4+9a^{2}t^{2}}}\;\mathrm {d} t=\cdots =\left[{\frac {1}{27a^{2}}}\left(4+9a^{2}t^{2}\right)^{\frac {3}{2}}\right]_{0}^{b}\;.}$

qui peut être résolue par le changement de variables ${\displaystyle u=4+9a^{2}t^{2}}$.

Exemple : Pour a = 1 (parabole semi-cubique unitaire) et b = 2, c'est-à-dire la longueur de l'arc entre l'origine et le point (4 ; 8), on obtient une longueur d'arc de 9,073.

La développée de la parabole (t² ; t) est une parabole semi-cubique décalée de 1/2 le long de l'axe x :

${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}+t^{2},{\frac {4}{{\sqrt {3}}^{3}}}t^{3}\right).}$

Pour obtenir la représentation de la parabole semi-cubique (t² ; at³) en coordonnées polaires, on détermine le point d'intersection de la droite ${\displaystyle y=mx}$ avec la courbe. Pour ${\displaystyle m\neq 0}$ il y a un point différent de l'origine : ${\textstyle \left({\frac {m^{2}}{a^{2}}},{\frac {m^{3}}{a^{2}}}\right)}$. Ce point a une distance ${\textstyle {\frac {m^{2}}{a^{2}}}{\sqrt {1+m^{2}}}}$ depuis l'origine. Avec ${\displaystyle m=\tan \varphi }$ et ${\displaystyle \sec ^{2}\varphi =1+\tan ^{2}\varphi }$ (par les identités trigonométriques) on obtient[3]

${\displaystyle r=\left({\frac {\tan \varphi }{a}}\right)^{2}\sec \varphi \;,\quad -{\frac {\pi }{2}}<\varphi <{\frac {\pi }{2}}.}$

Relation entre une parabole semi-cubique et une fonction cubique (vert)

Projeter la parabole semi-cubique (t² ; t³) par l'application ${\textstyle (x,y)\rightarrow \left({\frac {x}{y}},{\frac {1}{y}}\right)}$ donne ${\textstyle \left({\frac {1}{t}},{\frac {1}{t^{3}}}\right)}$, d'où la fonction cubique y = x³. La pointe (origine) de la parabole semi-cubique est échangée avec le point à l'infini de l'axe des ordonnées.

Cette propriété peut également être dérivée si l'on représente la parabole semi-cubique par des coordonnées homogènes : Dans l'équation (A) le changement de variables ${\displaystyle x={\tfrac {x_{1}}{x_{3}}},\;y={\tfrac {x_{2}}{x_{3}}}}$ (la droite à l'infini a pour équation ${\displaystyle x_{3}=0}$) et la multiplication par ${\displaystyle x_{3}^{3}}$ est effectuée. On obtient l'équation de la courbe en coordonnées homogènes : ${\displaystyle x_{3}x_{2}^{2}-x_{1}^{3}=0}$.

Choisir la ligne ${\displaystyle x_{\color {red}2}=0}$ comme ligne à l'infini et introduire ${\displaystyle x={\tfrac {x_{1}}{x_{2}}},\;y={\tfrac {x_{3}}{x_{2}}}}$ donne la courbe (affinée) y = x³.

Une propriété déterminante supplémentaire de la parabole semi-cubique est qu'il s'agit d'une courbe isochrone, ce qui signifie qu'une particule suivant sa trajectoire tout en étant attirée vers le bas par la gravité parcourt des intervalles verticaux égaux dans des périodes de temps égales. De cette façon, il est lié à la courbe tautochrone, pour laquelle les particules à différents points de départ mettent toujours le même temps pour atteindre le fond, et à la courbe brachistochrone, la courbe qui minimise le temps qu'il faut à une particule tombante pour se déplacer de son début à sa fin.