Courbe brachistochrone

Le chemin le plus court entre deux points est celui que suivrait un rayon de lumière. La courbe brachistochrone est donc simplement le trajet suivi par la lumière dans un milieu où la vitesse augmente selon une accélération constante (l’attraction terrestre g). La loi de la conservation de l’énergie permet d’exprimer la vitesse d’un corps soumis à l’attraction terrestre par :

${\displaystyle v={\sqrt {2gh}}}$,

où h représente la perte d’altitude par rapport au point de départ.

La loi de la réfraction, selon le principe de Fermat, indique que tout au long de sa trajectoire un rayon lumineux obéit à la règle

${\displaystyle {\frac {\sin {\theta }}{v}}=\mathrm {Cste} }$,

où ${\displaystyle \theta }$ représente l’angle par rapport à la verticale. En insérant dans cette formule l’expression de la vitesse trouvée plus haut, on constate immédiatement deux choses :

– Au point de départ, lorsque la vitesse est nulle, l’angle doit nécessairement être nul. Donc la courbe brachistochrone est tangente à la verticale à l’origine.

– La vitesse est bornée car le sinus ne peut être supérieur à 1. Cette vitesse maximum est atteinte quand la particule (ou le rayon) passe par l’horizontale.

Sans restreindre la généralité du problème, on va supposer que la particule part du point de coordonnées (0,0) et que la vitesse maximale est atteinte à la hauteur –D. La loi de la réfraction s’exprime alors par :

${\displaystyle {\frac {\sin {\theta }}{\sqrt {-2gy}}}={\frac {1}{\sqrt {2gD}}}}$.

Sachant que la particule se déplace sur une courbe, on a la relation :

${\displaystyle \sin {\theta }={\frac {dx}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}}$.

En insérant cette expression dans la formule précédente et en réarrangeant les termes on trouve :

${\displaystyle (1+{y'}^{2})y=-D}$.

Ce qui est l’équation différentielle de l’opposée d’une cycloïde, engendrée par un cercle de diamètre D.

Soit ${\displaystyle y=f(x)}$ l'équation cartésienne de la courbe (on exclut les courbes ayant des parties verticales), y étant dirigé vers le bas, et la courbe commençant à l'origine. On exprime un déplacement infinitésimal sur la courbe :

${\displaystyle ds={\sqrt {(\mathrm {d} x)^{2}+(\mathrm {d} y)^{2}}}={\sqrt {1+{y'}^{2}}}\,\mathrm {d} x}$.

Mais, d'autre part, on a toujours, en vertu du théorème de l'énergie cinétique, la relation suivante :

${\displaystyle v={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}={\sqrt {2gy}}}$.

On peut alors exprimer le temps de parcours infinitésimal ${\displaystyle \mathrm {d} t}$ :

${\displaystyle \mathrm {d} t={\sqrt {\frac {1+{y'}^{2}}{2gy}}}\,\mathrm {d} x}$.

Donc ${\displaystyle T=\int _{x_{a}}^{x_{b}}{\sqrt {\frac {1+{y'}^{2}}{2gy}}}\,\mathrm {d} x}$, avec T le temps de parcours (à minimiser), ${\displaystyle x_{a}}$ et ${\displaystyle x_{b}}$ les abscisses de départ et d'arrivée.

Il s'agit donc de trouver le minimum de la fonctionnelle ${\displaystyle F:y\mapsto \int _{x_{a}}^{x_{b}}{\sqrt {\frac {1+{y'}^{2}}{2gy}}}\,\mathrm {d} x}$.

Les extrema d'une telle fonctionnelle ${\displaystyle F:y\mapsto \int _{x_{a}}^{x_{b}}L(x,y,y')\,\mathrm {d} x}$ vérifient l'équation d'Euler-Lagrange, qui est une condition nécessaire (mais non suffisante) pour que ${\displaystyle y}$ minimise la fonctionnelle. La fonctionnelle ne dépendant pas explicitement de ${\displaystyle x}$, la formule de Beltrami est ici directement applicable, à savoir ${\displaystyle L-y'{\partial L \over \partial y'}=k}$ avec k une constante arbitraire, ce qui donne ici :

${\displaystyle {\sqrt {\frac {1+{y'}^{2}}{2gy}}}-{\frac {{y'}^{2}}{\sqrt {2gy\left(1+{y'}^{2}\right)}}}=k}$.

Après multiplication des deux membres par ${\displaystyle {\sqrt {2gy\left(1+{y'}^{2}\right)}}}$ et simplification, on obtient que si ${\displaystyle y}$ est un extremum de ${\displaystyle F}$ alors :

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2gy\left(1+{y'}^{2}\right)}}}=k}$.

On obtient donc l'équation différentielle ${\displaystyle \left(1+{y'}^{2}\right)y=\mathrm {Cste} }$, où la constante s'obtient en constatant que ${\displaystyle y}$ est égal au diamètre ${\displaystyle D}$ du cercle générant la cycloïde lorsque ${\displaystyle y'=0}$. Ce n'est autre que l'altitude minimale atteinte par le point mobile.

Pour résoudre ${\displaystyle (1+{y'}^{2})y=D}$, on procède au changement de variable suivant :

${\displaystyle y'=\operatorname {cotan} \left({\frac {\theta }{2}}\right)}$.

On trouve ${\displaystyle y(\theta )}$ en remplaçant ${\displaystyle y'}$ directement dans l'équation différentielle, puis ${\displaystyle x(\theta )}$ en remarquant que ${\displaystyle dy/dx=\operatorname {cotan} (\theta /2)}$ donne ${\displaystyle dx=\tan(\theta /2)dy}$. On a ${\displaystyle dy={\frac {D}{2}}\sin(\theta )d\theta }$ d'après l'expression trouvée pour ${\displaystyle y(\theta )}$. Une intégration de ${\displaystyle dx}$ en ${\displaystyle \theta }$ donne ${\displaystyle x(\theta )}$ :

${\displaystyle \int {dx}=\int {\frac {D}{2}}\tan(\theta /2)\sin(\theta )d\theta ={\frac {D}{2}}\int (1-\cos(\theta ))d\theta }$

On obtient finalement l'équation paramétrique de la courbe solution avec les conditions aux limites adéquates :

${\displaystyle x(\theta )={\frac {D}{2}}\left(\theta -\sin(\theta )\right)}$,

${\displaystyle y(\theta )={\frac {D}{2}}\left(1-\cos(\theta )\right)}$.

Il s'agit d'une cycloïde, sous sa forme paramétrée (l'orientation du graphique est la même qu'au début, les coordonnées x et y de la courbe sont toujours positives, l'axe des y ayant simplement été dessiné vers le haut) :

• Isochrone de Leibniz
• Courbe tautochrone

• Sur le site MathCurve.com
• Article historique en anglais
• Résolution complète et détaillée du problème en anglais