Énergie cinétique

Dans la théorie de la relativité, l'énergie cinétique ${\displaystyle \mathrm {E} _{c}}$ d'un point matériel de masse inerte ${\displaystyle m}$[N 1] se déplaçant à une vitesse ${\displaystyle v}$ dans un référentiel donné vaut :

${\displaystyle \mathrm {E} _{c}={\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}mv^{2}\ \ }$ avec ${\displaystyle \ \ \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Le coefficient ${\displaystyle \gamma }$ est le facteur de Lorentz, ${\displaystyle c}$ est la vitesse de la lumière.

Dans les cas non relativistes, c'est-à-dire lorsque la vitesse du point est négligeable devant la vitesse de la lumière, le développement limité de l'énergie cinétique ${\displaystyle \mathrm {E} _{c}}$ est :

${\displaystyle \mathrm {E} _{c}\approx {\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {3}{8}}{\frac {mv^{4}}{c^{2}}}+{\frac {5}{16}}{\frac {mv^{6}}{c^{4}}}+\dots \approx {\frac {1}{2}}mv^{2}}$

Le terme du premier ordre est l'énergie cinétique classique. Pour un objet de 1 kg allant à la vitesse de 10 km/s, la différence entre énergie cinétique relativiste et classique est d'environ 0,04 J pour une énergie cinétique classique de 50 MJ, soit un écart relatif d'environ ${\displaystyle 10^{-9}}$, ce qui en fait une très bonne approximation.

On peut assimiler un corps à un système de points matériels ${\displaystyle M_{i}}$ de masses ${\displaystyle m_{i}}$ et de vitesses ${\displaystyle v_{i}}$. En notant ${\displaystyle M}$ la masse totale du corps, on a ${\displaystyle M=\sum _{i}m_{i}}$.

Conformément à l'extensivité de l'énergie cinétique, l'énergie cinétique ${\displaystyle \mathrm {E} _{c}}$ du système de points peut être définie comme la somme des énergies cinétiques des points matériels constituant le système :

${\displaystyle \mathrm {E} _{c}=\sum _{i}\mathrm {E} _{{c},i}=\sum _{i}{\frac {\gamma _{i}^{2}}{\gamma _{i}+1}}m_{i}v_{i}^{2}\approx {\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}v_{i}^{2}}$

Cette expression est générale et ne préjuge pas de la nature du système, déformable ou pas. En passant à la limite des milieux continus et en intégrant sur le volume, on obtient :

${\displaystyle \mathrm {E} _{c}={\frac {1}{2}}\iiint \rho v^{2}\mathrm {d} \tau }$

En notant :

• ${\displaystyle \rho }$ la masse volumique locale ;
• ${\displaystyle v}$ la vitesse locale ;
• ${\displaystyle \mathrm {d} \tau }$ le volume élémentaire.

Dans le domaine de validité de la mécanique newtonienne, la notion d'énergie cinétique peut être mise en évidence pour un point matériel de masse ${\displaystyle m}$ constante.

La relation fondamentale de la dynamique s'écrit :

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}=\sum {\vec {F}}}$

avec ${\displaystyle \sum {\vec {F}}}$ la résultante des forces appliquées au point matériel. Elle comprend les forces d'inertie dans le cas d'un référentiel non galiléen.

En effectuant le produit scalaire par la vitesse ${\displaystyle {\vec {v}}}$ du point, il vient :

${\displaystyle m\left({\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}\right)\cdot {\vec {v}}=\left(\sum {\vec {F}}\right)\cdot {\vec {v}}}$

comme ${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}\right)\cdot {\vec {v}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {1}{2}}v^{2}\right)}$, alors ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {1}{2}}mv^{2}\right)=\sum \left({\vec {F}}\cdot {\vec {v}}\right)}$

On reconnait dans le membre de gauche la quantité ${\displaystyle \mathrm {E} _{c}\equiv {\frac {1}{2}}mv^{2}}$ qu'on nomme énergie cinétique du point matériel, et dont la dérivée par rapport au temps est égale à la somme des puissances ${\displaystyle {\vec {F}}\cdot {\vec {v}}}$ des forces appliquées au point.

On peut obtenir une expression plus générale en remarquant que ${\displaystyle \int \mathrm {d} \left({\frac {1}{2}}mv^{2}\right)=\int m{\vec {v}}\cdot \mathrm {d} {\vec {v}}}$, puisque ${\displaystyle \mathrm {d} (v^{2})=2{\vec {v}}\cdot \mathrm {d} {\vec {v}}}$. En introduisant la variation infinitésimale de la quantité de mouvement du corps ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {p}}\equiv m\mathrm {d} {\vec {v}}}$, on obtient :

${\displaystyle \Delta \mathrm {E} _{c}=\int {\vec {v}}\cdot \mathrm {d} {\vec {p}}}$

où ${\displaystyle \Delta \mathrm {E} _{c}}$ désigne la variation d'énergie cinétique.

Dans le domaine de validité de la mécanique relativiste, la masse d'un objet n'est pas invariant de sa vitesse, et en intégrant on obtient finalement :

${\displaystyle \Delta \mathrm {E} _{c}=\int {\vec {v}}\cdot \mathrm {d} (m_{\gamma }{\vec {v}})={\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}mv^{2}}$

Dans un référentiel galiléen, pour un point matériel de masse constante parcourant un chemin ${\displaystyle \Gamma }$ entre une position ${\displaystyle A}$ et une position ${\displaystyle B}$ :

La variation d’énergie cinétique du point entre ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ est égale à la somme des travaux ${\displaystyle W_{\Gamma }}$ des forces qui s'exercent sur le point le long du chemin ${\displaystyle \Gamma }$ :

${\displaystyle {\underset {A\rightarrow B}{\Delta }}\ \mathrm {E} _{c}=\mathrm {E} _{c}^{B}-\mathrm {E} _{c}^{A}=\sum {W_{\Gamma }}}$

avec ${\displaystyle \mathrm {E} _{c}^{A}}$ et ${\displaystyle \mathrm {E} _{c}^{B}}$ les énergies cinétiques du point respectivement aux positions ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$. Le résultat ne dépend pas du chemin ${\displaystyle \Gamma }$ suivi entre ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$, ce qui découle du caractère exact de la différentielle de l'énergie cinétique. Le terme des travaux prend en compte à la fois les forces conservatives et les forces non conservatives. Pour un point matériel, toutes les forces sont extérieures.

On est déduit le théorème de la puissance cinétique :

${\displaystyle P={\frac {\mathrm {dE} _{c}}{\mathrm {d} t}}}$

Dans un référentiel galiléen, pour un solide déformable[N 2] de masse constante parcourant un chemin ${\displaystyle \Gamma }$ reliant un point ${\displaystyle A}$ à un point ${\displaystyle B}$ :

La variation d’énergie cinétique du solide est égale à la somme des travaux des forces intérieures ${\displaystyle W_{\Gamma }^{int}}$ et extérieures ${\displaystyle W_{\Gamma }^{ext}}$ qui s'exercent sur et dans le solide le long de ${\displaystyle \Gamma }$ :

${\displaystyle {\underset {A\rightarrow B}{\Delta }}\ \mathrm {E} _{c}=\mathrm {E} _{c}^{B}-\mathrm {E} _{c}^{A}=\sum {W_{\Gamma }^{ext}+W_{\Gamma }^{int}}}$

avec ${\displaystyle \mathrm {E} _{c}^{A}}$ et ${\displaystyle \mathrm {E} _{c}^{B}}$ les énergies cinétiques du solide respectivement aux positions ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$. Le résultat ne dépend pas du chemin ${\displaystyle \Gamma }$ suivi entre ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$. Les termes des travaux prennent en compte à la fois les forces conservatives et non conservatives.

On est déduit le théorème de la puissance cinétique pour un solide déformable :

${\displaystyle P_{ext}+P_{int}={\frac {\mathrm {dE} _{c}}{\mathrm {d} t}}}$

D’après la deuxième loi de Newton, l’accélération du centre de gravité est liée aux forces qui s’exercent sur le point par la relation :

${\displaystyle m\,{\vec {a}}={\vec {F}}}$

Pendant une durée ${\displaystyle \mathrm {d} t}$, le point se déplace de ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {\ell }}={\vec {v}}\,\mathrm {d} t}$ où ${\displaystyle {\vec {v}}}$ est la vitesse du solide. On en déduit le travail élémentaire des forces :

${\displaystyle \delta W={\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {\ell }}=m\,{\vec {a}}\cdot \mathrm {d} {\vec {\ell }}=m\,{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}\cdot {\vec {v}}\,\mathrm {d} t=m\,{\vec {v}}\cdot \mathrm {d} {\vec {v}}}$

Si le point parcourt un chemin ${\displaystyle \Gamma }$ d’un point ${\displaystyle A}$ à un point ${\displaystyle B}$, alors le travail total s’obtient en intégrant le long du chemin :

${\displaystyle W=\int _{\Gamma }{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {\ell }}=\int _{\Gamma }m{\vec {v}}\cdot \mathrm {d} {\vec {v}}}$

La quantité ${\displaystyle {\vec {v}}\cdot \mathrm {d} {\vec {v}}}$ étant une différentielle exacte, l’intégrale ne dépend pas du chemin ${\displaystyle \Gamma }$ suivi entre ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ et peut donc être obtenue explicitement :

${\displaystyle W=m\,\int _{v_{A}}^{v_{B}}{\vec {v}}\cdot \mathrm {d} {\vec {v}}=m\,\left(\int _{v_{xA}}^{v_{xB}}v_{x}\,\mathrm {d} v_{x}+\int _{v_{yA}}^{v_{yB}}v_{y}\,\mathrm {d} v_{y}+\int _{v_{zA}}^{v_{zB}}v_{z}\,\mathrm {d} v_{z}\right)=m\,\left(\left[{\frac {v_{x}^{2}}{2}}\right]_{v_{xA}}^{v_{xB}}+\left[{\frac {v_{y}^{2}}{2}}\right]_{v_{yA}}^{v_{yB}}+\left[{\frac {v_{z}^{2}}{2}}\right]_{v_{zA}}^{v_{zB}}\right)}$

${\displaystyle W={\frac {1}{2}}m\,\left[\left(v_{xB}^{2}+v_{yB}^{2}+v_{zB}^{2}\right)-\left(v_{xA}^{2}+v_{yA}^{2}+v_{zA}^{2}\right)\right]}$

${\displaystyle W={\frac {1}{2}}m\,\left(\left\|{\vec {v_{B}}}\right\|^{2}-\left\|{\vec {v_{A}}}\right\|^{2}\right)={\frac {1}{2}}m\,\left(v_{B}^{2}-v_{A}^{2}\right)=\mathrm {E} _{c_{B}}-\mathrm {E} _{c_{A}}}$

Pour un solide de masse totale ${\displaystyle m}$ assimilé à un ensemble de points matériels, en notant ${\displaystyle R}$ le référentiel d'étude et ${\displaystyle R^{*}}$ le référentiel barycentrique du solide :

L'énergie cinétique d'un ensemble de points matériels s'écrit sous la somme de deux termes :

${\displaystyle \mathrm {E} _{c}={\frac {1}{2}}mv^{2}+\mathrm {E} _{c}^{*}\ \ }$ avec ${\displaystyle \ \ \mathrm {E} _{c}^{*}=\sum _{i}m_{i}v_{i}^{2}}$

En notant :

• ${\displaystyle v}$ la vitesse du barycentre du solide dans le référentiel d'étude ${\displaystyle R}$ ;
• ${\displaystyle v_{i}}$ la vitesse de chaque point matériel dans le référentiel barycentrique ${\displaystyle R^{*}}$, ${\displaystyle m_{i}}$ leurs masses respectives.

L'énergie ${\displaystyle \mathrm {E} _{c}^{*}}$ est appelée énergie cinétique propre du solide, associée aux déplacements propres au solide comme les rotations et les dilatations. Le premier terme correspond à une énergie cinétique de translation qui ne prendrait pas en compte les mouvements propres du solide.

Pour un solide indéformable, la distance entre chaque point matériel qui le constitue est constante. En d'autres termes, le solide ne se dilate et ne se comprime pas, et ne possède pas de mouvement de torsion. Il peut cependant effectuer une rotation dans le référentiel envisagé.

Dans ce cas, le mouvement du solide peut être décomposé en un mouvement de son centre de masse dans ${\displaystyle R}$ et un mouvement de rotation autour d'un axe instantané ${\displaystyle \Delta }$ dans le référentiel barycentrique ${\displaystyle R^{*}}$.

L'énergie cinétique d'un ensemble de points matériels s'écrit sous la somme de deux termes :

${\displaystyle \mathrm {E} _{c}={\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {1}{2}}{\vec {L}}\cdot {\vec {\omega }}}$

En notant :

• ${\displaystyle v}$ la vitesse du centre de masse du solide dans le référentiel d'étude ${\displaystyle R}$ ;
• ${\displaystyle {\vec {L}}}$ le vecteur moment cinétique du solide par rapport à son centre de masse ;
• ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ le vecteur vitesse angulaire instantané du solide. Il ne dépend pas du référentiel.

L'énergie cinétique propre du solide devient alors une énergie cinétique de rotation ou encore une énergie cinétique angulaire.

Si de surcroît, l'axe de rotation ${\displaystyle \Delta }$ est fixe dans le référentiel barycentrique ${\displaystyle R^{*}}$ bien choisi, le moment cinétique du solide vérifie ${\displaystyle {\vec {L}}=I_{\Delta }{\vec {\omega }}}$, où ${\displaystyle I_{\Delta }}$ est le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe ${\displaystyle \Delta }$. Son énergie cinétique de rotation se met alors sous la forme ${\displaystyle E_{r}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}I_{\Delta }\omega ^{2}}$.

• Théorie cinétique des gaz
• Énergie potentielle
• Énergie mécanique

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