Courbe plane

Tangente en un point d'une courbe

La régularité de la courbe permet de définir la droite tangente à la courbe. Soient ${\displaystyle \alpha (t)}$ une courbe différentiable et ${\displaystyle P_{0}=\alpha (t_{0})}$ un point régulier. On peut définir la tangente à la courbe en ce point comme étant la droite passant par ${\displaystyle P_{0}}$ et parallèle au vecteur ${\displaystyle \alpha '(t_{0})=(\phi '(t_{0}),\psi '(t_{0}))}$.

La tangente a une équation cartésienne au point ${\displaystyle t_{0}}$ :

${\displaystyle \psi '(t_{0})\cdot (X-\phi (t_{0}))-\phi '(t_{0})\cdot (Y-\psi (t_{0}))=0}$

et pour équations paramétrées :

${\displaystyle {\begin{cases}X_{t}=\phi '(t_{0})(t-t_{0})+\phi (t_{0})\\Y_{t}=\psi '(t_{0})(t-t_{0})+\psi (t_{0})\end{cases}}}$

Dans le cas d'une courbe représentée explicitement par une équation ${\displaystyle y=f(x)}$, la tangente au point ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ est donnée par la relation :

${\displaystyle f'(x_{0})\cdot (x-x_{0})-(y-y_{0})=0}$.

Dans le cas d'une courbe représentée par une équation implicite ${\displaystyle F(x,y)=0}$, la tangente au point ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ est donnée par la relation :

${\displaystyle F_{x_{0}}\cdot (x-x_{0})+F_{y_{0}}\cdot (y-y_{0})=0}$

où ${\displaystyle F_{x_{0}}}$ (respectivement ${\displaystyle F_{y_{0}}}$) désigne la dérivée partielle par rapport à ${\displaystyle x}$ (respectivement ${\displaystyle y}$) de ${\displaystyle F}$, évaluée au point ${\displaystyle x_{0}}$ (respectivement ${\displaystyle y_{0}}$).

La régularité de la courbe permet de définir la droite normale à la courbe au point ${\displaystyle t_{0}}$, d'équation cartésienne :

${\displaystyle \phi '(t_{0})\cdot (\phi (t_{0})-\phi (t))+\psi '(t_{0})\cdot (\psi (t_{0})-\psi (t))=0}$.

Cette équation devient, avec les mêmes notations que dans le paragraphe précédent :

• Pour une représentation explicite :

${\displaystyle f'(x_{0})\cdot (y-y_{0})+(x-x_{0})=0}$.

• Pour une représentation implicite :

${\displaystyle F_{y_{0}}\cdot (x-x_{0})-F_{x_{0}}\cdot (y-y_{0})=0}$.

D'après la définition même de la dérivée, on obtient :

${\displaystyle {\frac {\psi '(t)}{\phi '(t)}}=\tan \theta }$

ce qui, d'un point de vue géométrique, représente la pente de la droite tangente à la courbe, autrement dit la tangente (au sens trigonométrique du terme) de l'angle que cette tangente forme avec l'axe horizontal (l'axe des 'x'). De cette relation, on peut extraire les cosinus directeurs de la tangente à la courbe :

${\displaystyle \cos \theta =\pm {\frac {\phi '(t)}{\sqrt {\phi '(t)^{2}+\psi '(t)^{2}}}}}$

${\displaystyle \sin \theta =\pm {\frac {\psi '(t)}{\sqrt {\phi '(t)^{2}+\psi '(t)^{2}}}}}$

Soient ${\displaystyle \alpha :I\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}}$ une courbe plane différentiable, et ${\displaystyle t=t(s)}$ une fonction définie sur l'intervalle ${\displaystyle S}$ et à valeurs dans ${\displaystyle I}$. Alors la courbe :

${\displaystyle \beta =\alpha \circ t:S\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},}$

telle que pour tout ${\displaystyle s\in S,\beta (s)=\alpha (t(s))}$, est un reparamétrage de la courbe ${\displaystyle \alpha }$. Le reparamétrage est dit régulier si ${\displaystyle t(S)=I}$ et si ${\displaystyle \forall s\in S,t'(s)\neq 0}$.

On vérifie alors le théorème suivant : si ${\displaystyle \beta =\alpha \circ t}$ est un reparamétrage de la courbe ${\displaystyle \alpha }$ par ${\displaystyle t=t(s)}$ alors

${\displaystyle \beta '(s)={\frac {dt}{ds}}\alpha '(t(s))}$

Démonstration

Si ${\displaystyle \alpha (t)=(\phi (t),\psi (t))}$ alors ${\displaystyle \beta (s)=(\phi (t(s)),\psi (t(s)))}$ et d'après les théorèmes de dérivation des fonctions composées, on a :

${\displaystyle {\frac {d\phi (t(s))}{ds}}={\frac {d\phi }{dt}}\cdot {\frac {dt}{ds}}}$

${\displaystyle {\frac {d\psi (t(s))}{ds}}={\frac {d\psi }{dt}}\cdot {\frac {dt}{ds}}}$

et ainsi on obtient :

${\displaystyle \beta '(s)={\frac {dt}{ds}}\left({\frac {d\phi }{dt}},{\frac {d\psi }{dt}}\right)={\frac {dt}{ds}}\alpha '(t(s))}$

On définit l'abscisse curviligne ou paramètre longueur d'arc comme étant le reparamétrage particulier obtenu en fixant la borne inférieure d'intégration a, de façon que l'intégrale ${\displaystyle s(t)=\int _{a}^{t}{\|\alpha '(u)\|du}}$ ne dépende que de la borne supérieure t, vue comme variable. Cette fonction est, géométriquement, la longueur de l'arc de courbe à partir d'un point fixe a, affectée éventuellement d'un signe. Il est toujours possible de paramétrer de nouveau la courbe selon l'abscisse curviligne. Dans ce cas, pour déterminer la tangente en un point, on sait qu'elle est parallèle à un vecteur tangent unitaire. On démontre que l'on peut toujours paramétrer de nouveau une courbe au moyen de l'abscisse curviligne de la façon suivante :

étant donné que ${\displaystyle s'(t)=\|\alpha '(t)\|>0}$, on peut inverser ${\displaystyle s(t)}$, et son inverse est ${\displaystyle t=t(s)}$. Alors on obtient le reparamétrage par l'abscisse curviligne donné par : ${\displaystyle \beta (s)=\alpha (t(s))}$.

On démontre ensuite que le vecteur tangent est unitaire :

${\displaystyle \|\beta '(s)\|=|{\frac {dt}{ds}}|\cdot \|\alpha '(t)\|={\frac {1}{|s'(t)|}}\|\alpha '(t)\|={\frac {\|\alpha '(t)\|}{\|\alpha '(t)\|}}=1}$.

Soit ${\displaystyle \beta (s)}$ une courbe paramétrée selon l'abscisse curviligne et ${\displaystyle \beta '(s)}$ son vecteur tangent unitaire. Considérons la fonction ${\displaystyle k:S\longrightarrow \mathbb {R} ,s\longmapsto k(s)=\|\beta ''(s)\|}$. Alors la fonction ${\displaystyle k(s)\geq 0}$ est dite courbure de la courbe.

Si la courbe est représentée explicitement, sa courbure est :

${\displaystyle k={\frac {f''(x)}{\left(1+f'^{2}\right)^{3/2}}}}$.

En revanche, pour une courbe représentée par une équation implicite, la courbure est évaluée par :

${\displaystyle k={\frac {F_{y}^{2}\cdot F_{xx}-2F_{x}\cdot F_{y}\cdot F_{xy}+F_{x}^{2}\cdot F_{yy}}{\left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{3/2}}}}$.

Une courbe (suffisamment régulière) de l'espace possède, en tous ses points, un système de référence, dit trièdre de Frenet, donné par un triplet de vecteurs tangent, normal et binormal. Une telle courbe est plane si et seulement si le vecteur binormal est toujours nul.

Soit ${\displaystyle \beta (s)=(\phi (s),\psi (s))}$ une courbe paramétrée selon l'abscisse curviligne. Le vecteur unitaire tangent est déterminé par :

${\displaystyle T(s)=\beta '(s)=(\phi '(s),\psi '(s)).}$

Le vecteur unitaire normal est déterminé par :

${\displaystyle N(s)=i\cdot T(s)=(-\psi '(s),\phi '(s)),}$

où i est le nombre complexe tel que ${\displaystyle i^{2}=-1}$. Grâce à la définition de la courbure, on peut donner une autre forme au vecteur unitaire normal :

${\displaystyle N(s)={\frac {T'(s)}{\|T'(s)\|}}={\frac {T'(s)}{k(s)}}.}$

On démontre que le vecteur ${\displaystyle T'}$ est orthogonal à T et donc parallèle à N.

Finalement, les formules de Frenet et la courbure pour une courbe plane, quel que soit son paramétrage ${\displaystyle \alpha (t)=(\phi (t),\psi (t))}$, sont :

${\displaystyle T(t)={\frac {\alpha '(t)}{\|\alpha '(t)\|}}}$

${\displaystyle N(t)={\frac {i\cdot \alpha '(t)}{\|\alpha '(t)\|}}}$

${\displaystyle k(t)={\frac {\alpha ''(t)\cdot (i\alpha '(t))}{\|\alpha '(t)\|^{3}}}}$