Hélice (géométrie)

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct ${\displaystyle \ (O,{\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}})}$, il existe deux hélices circulaires infinies d'axe ${\displaystyle (O,{\vec {k}})}$, de rayon a et de pas 2πb dont les équations paramétriques rectangulaires sont:

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}x(t)&=a\cos(t)\\y(t)&=a\varepsilon \sin(t)\\z(t)&=bt\end{aligned}}\right.}$

où ε vaut 1 (hélice dextre) ou -1 (hélice senestre)[3].

Les équations paramétriques en coordonnées cylindriques sont:

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}r&=a\\\theta &=\varepsilon t\\z&=bt\end{aligned}}\right.}$

où ε vaut 1 ou -1.

Si on pose c² = a² + b², les équations paramétriques en paramétrage normal sont

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}x(s)&=a\cos(s/c)\\y(s)&=a\varepsilon \sin(s/c)\\z(s)&=bs/c\end{aligned}}\right.}$

où ε vaut 1 ou -1.

Hélice circulaire vue selon plusieurs angles

La projection d'une hélice circulaire sur un plan orthogonal à son axe est un cercle. Sur un plan parallèle à son axe, elle se projette selon une sinusoïde.

La longueur d'un arc d'hélice circulaire de rayon a et de pas 2πb pris entre les paramètres t₁ et t₂ vaut :

${\displaystyle \ell (t_{1},t_{2})=c|t_{2}-t_{1}|}$

où c² = a² + b²

Si on note ${\displaystyle {\overrightarrow {OM}}(t)=f(t)\left\{{\begin{aligned}x(t)&=a\cos(t)\\y(t)&=a\varepsilon \sin(t)\\z(t)&=bt\end{aligned}}\right.}$ La dérivée de f est : ${\displaystyle f'(t)\left\{{\begin{aligned}x(t)&=-a\sin(t)\\y(t)&=a\varepsilon \cos(t)\\z(t)&=b\end{aligned}}\right.}$ Ce vecteur est de norme c = √a² + b² et fait avec le vecteur ${\displaystyle {\vec {k}}}$ un angle constant θ tel que ${\displaystyle \cos(\theta )={\frac {f'(t)\cdot {\vec {k}}}{c}}={\frac {b}{c}}\qquad \tan(\theta )={\frac {a}{b}}}$ On appelle angle de l'hélice le complémentaire α de l'angle θ.

La norme constante c du vecteur f '(t) permet de justifier les équations de la courbe en paramétrage normal et l'expression de la longueur d'un arc.

Une sécante (M₁M₂) à l'hélice fait avec le vecteur ${\displaystyle {\vec {k}}}$ un angle θ_1,2 tel que ${\displaystyle \cos(\theta _{1,2})={\frac {b(t_{2}-t_{1})}{M_{1}M_{2}}}={\frac {b}{c}}{\frac {\ell (t_{2}-t_{1})}{M_{1}M_{2}}}>{\frac {b}{c}}}$ (règle du plus court chemin)

Cet angle est donc toujours plus petit que θ. Ceci fait de l'hélice un exemple illustrant le fait que le théorème des accroissements finis (toute sécante d'une courbe différentiable est parallèle à une tangente) n'est pas vrai pour les courbes gauches.

En paramétrisation normale, si on note ${\displaystyle {\overrightarrow {OM}}(s)=r(s)\left\{{\begin{aligned}x(s)&=a\cos(s/c)\\y(s)&=a\varepsilon \sin(s/c)\\z(s)&=bs/c\end{aligned}}\right.}$ le vecteur unitaire tangent est ${\displaystyle t(s)=r'(s)\left\{{\begin{aligned}x(s)&=-{\frac {a}{c}}\sin(s/c)\\y(s)&={\frac {a}{c}}\varepsilon \cos(s/c)\\z(s)&={\frac {b}{c}}\end{aligned}}\right.}$ et sa dérivée est ${\displaystyle t'(s)=\kappa \,n(s)\left\{{\begin{aligned}x(s)&=-{\frac {a}{c^{2}}}\cos(s/c)\\y(s)&=-{\frac {a}{c^{2}}}\varepsilon \sin(s/c)\\z(s)&=0\end{aligned}}\right.}$ Le courbure est donc ${\displaystyle {\frac {a}{c^{2}}}}$ et le vecteur normal n(s) est le vecteur normal au cercle de base au point m projeté de M.

Le plan osculateur (M, t, s) coupe le plan de base selon l'angle α de l'hélice et selon une droite perpendiculaire à la tangente au cercle de base en m.

Le centre de courbure en M a pour coordonnées ${\displaystyle C(s)=\left\{{\begin{aligned}x(s)&=(a-{\frac {c^{2}}{a}})\cos(s/c)\\y(s)&=(a-{\frac {c^{2}}{a}})\varepsilon \sin(s/c)\\z(s)&=bs/c\end{aligned}}\right.}$ L'ensemble des centres de courbure, c'est-à-dire la développée de l'hélice est une hélice de même pas, de rayon b²/a et d'angle complémentaire à α. La développée de cette développée redonne l'hélice de départ.

Le troisième vecteur du repère de Frenet, c'est-à-dire le vecteur binormal b(s) a pour coordonnées ${\displaystyle b(s)\left\{{\begin{aligned}x(s)&={\frac {b}{c}}\varepsilon \sin(s/c)\\y(s)&=-{\frac {b}{c}}\cos(s/c)\\z(s)&={\frac {a}{c}}\end{aligned}}\right.}$

Le plan rectificateur, orthogonal au vecteur n est le plan tangent au cylindre au point M.

La dérivée du vecteur b(s) fournit la torsion τ ${\displaystyle b'(s)=-\tau \,n(s)=\left\{{\begin{aligned}x(s)&=-\varepsilon {\frac {b}{c^{2}}}\cos(s/c)\\y(s)&=-\varepsilon {\frac {b}{c^{2}}}\varepsilon \sin(s/c)\\z(s)&=0\end{aligned}}\right.}$

La torsion est donc une constante égale à ${\displaystyle \varepsilon {\frac {b}{c^{2}}}}$. Réciproquement, la forme d'une courbe étant entière déterminée par sa fonction courbure et sa fonction torsion, les seules courbes à courbure et torsion constantes sont les hélices circulaires.