Cône de révolution

Aire latérale et volume du cône solide (tronc de cône délimité par un demi cône et un plan à une distance h du sommet, coupant le cône suivant un cercle de rayon r) :

${\displaystyle A=\pi rR=\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h.}$

Tronc de cône de hauteur h, d'apothème s. Les bases parallèles sont des cercles de rayons ${\displaystyle r_{1}}$ et ${\displaystyle r_{2}}$.

Dans le cas général, si les deux plans, distants de h coupent le cône suivant deux cercles de rayon r₁ et r₂, l'aire latérale et le volume valent [1] :

${\displaystyle A=\pi (r_{1}+r_{2}){\sqrt {(r_{1}-r_{2})^{2}+h^{2}}}=\pi (r_{1}+r_{2})s}$

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi (r_{1}^{2}+r_{1}r_{2}+r_{2}^{2})h.}$

Secteur circulaire de rayon R et d'angle rentrant θ.

La surface latérale d'un tronc de cône de hauteur h et de rayon de base r a pour patron plan un disque de rayon R dans lequel on a découpé un secteur d'angle ${\displaystyle \theta }$.

La relation entre R, r et ${\displaystyle \theta }$ est alors : ${\displaystyle {\frac {R}{r}}={\frac {2\pi }{2\pi -\theta }}}$. En éliminant r entre cette relation et ${\displaystyle R^{2}=r^{2}+h^{2}}$, on obtient : ${\displaystyle h=R{\sqrt {{\frac {\theta }{2\pi }}\left(2-{\frac {\theta }{2\pi }}\right)}}}$.

La relation entre ${\displaystyle \theta }$ et ${\displaystyle \phi }$ est : ${\displaystyle \theta =2\pi (1-\sin \phi )}$.

Partant de la formule ${\displaystyle V={\frac {\pi }{3}}(R^{2}-h^{2})h}$, on obtient que le volume maximal à R fixé est obtenu pour ${\displaystyle h=R/{\sqrt {3}}}$ .

Le volume maximal vaut donc ${\displaystyle {\frac {2\pi }{27}}{\sqrt {3}}R^{3}}$, et le demi-angle au sommet, ${\displaystyle \phi =\arctan {({\sqrt {2}})}\approx 54^{\circ }44'}$ est l'angle dit « magique » (voir la suite A195696 de l'OEIS) ; l'angle au centre du secteur de disque est ${\displaystyle \theta =2\pi \left(1-{\sqrt {\frac {2}{3}}}\right)\approx 66^{\circ }4'}$.

Partant de la formule ${\displaystyle V={\frac {r}{3}}{\sqrt {A^{2}-\pi ^{2}r^{4}}}}$, on obtient que le volume maximal à A fixé est obtenu pour ${\displaystyle h=r{\sqrt {2}}}$ [2], soit pour ${\displaystyle \phi =\arctan {(1/{\sqrt {2}})}\approx 35^{\circ }16'}$, complémentaire de l'angle magique précédent (voir la suite A195695 de l'OEIS) ; l'angle au centre du secteur de disque est alors ${\displaystyle \theta =2\pi \left(1-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)\approx 152^{\circ }9'}$.