Rayon (géométrie)

La relation entre le rayon ${\displaystyle R}$ et la circonférence ${\displaystyle L}$ d'un cercle est ${\displaystyle R={\frac {L}{2\pi }}}$.

Triangle et cercle circonscrit.

Pour calculer le rayon ${\displaystyle R}$ d'un cercle passant par trois points ${\displaystyle A,B,C}$ on peut utiliser la formule suivante (voir Théorème de l'angle inscrit, Angle inscrit dans un demi-cercle et la figure ci-contre) : ${\displaystyle R={\frac {a}{2\sin \alpha }}}$, où ${\displaystyle a}$ est la longueur ${\displaystyle BC}$ et ${\displaystyle \alpha }$ la mesure de l'angle ${\displaystyle {\widehat {BAC}}}$.

Si les trois points sont donnés par leurs coordonnées ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$, ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ et ${\displaystyle (x_{3},y_{3})}$, on peut aussi utiliser la formule suivante (voir Loi des sinus et Aire d'un triangle) :

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {\left(\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}\right)\left(\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{3}\right)^{2}\right)\left(\left(x_{3}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{3}-y_{1}\right)^{2}\right)}}{2\left|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}\right|}}}$.

Cercle circonscrit et cercle inscrit dans l'ellipse.

On peut définir plusieurs notions de rayon pour une ellipse, notions redonnant celle de rayon classique dans le cas du cercle.

• Le demi grand axe ${\displaystyle a}$ de l'ellipse s'interprète comme le rayon du cercle circonscrit à l'ellipse, ou cercle principal , et le demi petit axe comme le rayon du cercle inscrit, ou cercle secondaire. On peut définir comme "rayon moyen", la moyenne arithmétique de ces deux rayons : ${\displaystyle R_{1}=(a+b)/2}$.

• Le rayon surfacique est le rayon d'un cercle d'aire (surface) égale à celle de l'ellipse.

Il est égal à la racine carrée du produit des deux demi-axes de l'ellipse :

${\displaystyle R_{2}={\sqrt {ab}}=a{\sqrt[{4}]{1-e^{2}}}}$ où e est l'excentricité de l'ellipse

C'est donc la moyenne géométrique des demi-axes.

• Un autre rayon remarquable de l'ellipse est la distance moyenne d'un point parcourant l'ellipse à vitesse constante au foyer de cette ellipse. Ce rayon, qui est par définition égal à ${\displaystyle R_{3}={{\int _{0}^{2\pi }{{\sqrt {(a(\cos t-e)^{2}+b^{2}\sin ^{2}t}}\,{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t}}\,\mathrm {d} t}} \over {\int _{0}^{2\pi }{{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t}}\,\mathrm {d} t}}}}$ se simplifie en la valeur ${\displaystyle R_{3}=a}$ du demi grand axe.

• La distance moyenne à vitesse constante au centre de l'ellipse : ${\displaystyle R_{4}={{\int _{0}^{2\pi }{{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}t+b^{2}\sin ^{2}t}}\,{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t}}\,\mathrm {d} t}} \over {\int _{0}^{2\pi }{{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t}}\,\mathrm {d} t}}}}$ ne donne pas, elle, une valeur simple.

• La distance moyenne au centre de l'ellipse, à vitesse de l'anomalie excentrique t constante : ${\displaystyle R_{5}={1 \over {2\pi }}{\int _{0}^{2\pi }{{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}t+b^{2}\sin ^{2}t}}\,\mathrm {d} t}}}$ est égale, elle, à ${\displaystyle L \over {2\pi }}$ où ${\displaystyle L}$ est la longueur de l'ellipse. C'est donc le rayon d'un cercle de longueur égale à celle de l'ellipse.
• On peut aussi considérer l'écart-type de la distance entre deux points de l'intérieur de l'ellipse : ${\displaystyle {\sqrt {\frac {\iint (M_{1}M_{2})^{2}dM_{1}dM_{2}}{\iint dM_{1}dM_{2}}}}}$ , soit ${\displaystyle {\sqrt {\frac {\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }((ar_{1}\cos t_{1}-br_{2}\cos t_{2})^{2}+(ar_{1}\cos t_{1}-br_{2}\cos t_{2})^{2})r_{1}r_{2}dr_{1}dr_{2}dt_{1}dt_{2}}{\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }r_{1}r_{2}dr_{1}dr_{2}dt_{1}dt_{2}}}}}$ qui se simplifie en ${\displaystyle R_{6}={\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}}}$, moyenne quadratique des demi-axes.

On peut définir plusieurs notions de rayon pour l'ellipsoïde de demi-axes ${\displaystyle a\geqslant b\geqslant c}$ .

Rayon moyen

Le "rayon moyen" est égal à la moyenne arithmétique des 3 demi-axes :

${\displaystyle R_{1}={\frac {a+b+c}{3}}}$.

Rayon volumétrique

Le rayon volumétrique est le rayon d'une sphère fictive de volume égal à celui de l'ellipsoïde considéré.

Il est égal à la moyenne géométrique des demi-axes :

${\displaystyle R_{2}={\sqrt[{3}]{abc}}}$.

Un rayon d'un polygone régulier est un segment reliant le centre de ce polygone à l'un de ses sommets. Sa longueur est par conséquent le rayon du cercle circonscrit à ce polygone.

Le rayon d'un polygone à n côtés de longueur c est donc égal à

${\displaystyle {\sqrt {\frac {c^{2}}{2-2\cos(2\pi /n)}}}={\frac {c}{2\sin(\pi /n)}}}$

ou encore, en fonction de la longueur de l'apothème h, à

${\displaystyle {\frac {h}{\cos(\pi /n)}}}$.