Moyenne géométrique

La moyenne géométrique des côtés d'un rectangle est donnée par un carré de même aire. Elle est construite par un cercle tangent aux deux cercles définis par les côtés du rectangle et les séparant.

Géométriquement, ce nombre c est le côté d'un carré dont la surface est la même que celle du rectangle de côtés a et b, puisque dans ce cas :

${\displaystyle c^{2}=ab.}$

On peut calculer directement la moyenne géométrique de deux nombres en prenant la racine carrée de l'expression précédente :

${\displaystyle c={\sqrt {ab}}=(ab)^{1/2}.}$

Sous cette dernière forme, on voit que le logarithme (en base quelconque) transforme l'expression en une moyenne arithmétique : ${\displaystyle \log c={\frac {\log a+\log b}{2}}}$ (à condition que a et b ne soient pas nuls, le logarithme n'étant pas défini en 0).

D'où la généralisation : la moyenne géométrique d'une série statistique quantitative positive non nulle est définie telle que son logarithme est la moyenne arithmétique des logarithmes des valeurs de la série.

Sa formulation peut se faire comme suit :

${\displaystyle \log {\bar {x}}={\frac {\log x_{1}+\log x_{2}+\ldots +\log x_{n}}{n}}={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}\log x_{i}.}$

On en déduit :

${\displaystyle {\bar {x}}={\sqrt[{n}]{x_{1}\times x_{2}\times \ldots \times x_{n}}}={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}}}.}$

Pour une série statistique dont le nombre total d’occurrences est infini ou inconnu, mais dont le nombre de valeurs positives non nulles possibles est fini et leurs fréquences respectives dans la série sont connues, la formulation mathématique devient :

${\displaystyle \log {\bar {x}}={\frac {f_{1}\log x_{1}+f_{2}\log x_{2}+\ldots +f_{n}\log x_{n}}{f_{1}+f_{2}+\ldots +f_{n}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{f_{i}\log x_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{f_{i}}}},\quad \mathrm {avec} \quad \sum _{i=1}^{n}{f_{i}}=1.}$

On en déduit (en utilisant par exemple le logarithme naturel) :

${\displaystyle {\bar {x}}=\exp \left({\frac {f_{1}\ln x_{1}+f_{2}\ln x_{2}+\ldots +f_{n}\ln x_{n}}{f_{1}+f_{2}+\ldots +f_{n}}}\right)=\exp \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}f_{i}\ln x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}{f_{i}}}}\right),}$

d’où :

${\displaystyle {\bar {x}}={x_{1}}^{f_{1}}\times {x_{2}}^{f_{2}}\times \ldots \times {x_{n}}^{f_{n}}=\prod _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{f_{i}}}.}$

La moyenne géométrique d'une distribution f d'une variable continue à valeur dans un intervalle scalaire fini [x₀, x₁] est la généralisation à la limite de la formule statistique discrète précédente :

${\displaystyle \log {{\bar {f}}_{x_{0}}^{x_{1}}}=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\log xf(x)~\mathrm {d} x},}$

d’où :

${\displaystyle {\bar {f}}_{x_{0}}^{x_{1}}=\exp \left(\int _{x_{0}}^{x_{1}}\ln xf(x)~\mathrm {d} x\right)\quad \mathrm {avec} \quad \int _{x_{0}}^{x_{1}}f(x)~\mathrm {d} x=1.}$

Sa dimension n'est pas une fréquence, mais est celle de sa variable continue.

Si la distribution f est définie sur toutes les valeurs réelles de sa variable continue, la moyenne géométrique de la distribution est :

${\displaystyle {\bar {f}}=\exp \left(\int _{-\infty }^{+\infty }\ln xf(x)~\mathrm {d} x\right)\quad \mathrm {avec} \quad \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)~\mathrm {d} x=1.}$