Diamètre

La notion de diamètre concerne initialement les figures simples de la géométrie euclidienne que sont le cercle et la sphère mais la notion s'élargit par analogie à plusieurs autres objets géométriques.

Diamètre d'un cercle.

Diamètre d'un cercle ou d'une sphère

Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre et limité par les points du cercle ou de la sphère. Le diamètre est aussi la longueur de ce segment.

Le diamètre d'un objet cylindrique ou sphérique est appelé module[1].

Pour indiquer qu'une valeur correspond au diamètre, en dessin technique, la valeur (du diamètre) est précédée par un symbole « ⌀ » (U+2300) représentant un cercle barré. Et ce symbole est lui-même précédé par la lettre S, s'il s'agit d'une sphère. Ce symbole ⌀ (U+2300) se dactylographie sur PC avec Windows par la combinaison 2300 Alt+x. Il ne faut pas le confondre avec le symbole ∅ (U+2205), servant à désigner l'ensemble vide, ni avec les lettres ø et Ø (obtenues avec la combinaison Alt+0246 et Alt+0216) utilisées dans certains alphabets.

Diamètre d'un ensemble de points

On remarque que le diamètre (en tant que distance) d'un cercle ou d'une sphère est la plus grande distance séparant deux points du cercle ou de la sphère.

Par analogie on appelle, dans un espace métrique $(E, d)$ , diamètre d'une partie non vide $A$ la borne supérieure (dans l'ensemble ordonné $[-\infty, +\infty]$ ) des distances entre deux points de $A$ :

${\rm {diam}}(A)=\sup \;\{d(a,b)\mid a\in A,~b\in A\}.$

Ainsi, le diamètre d'une partie non vide est un réel positif si cette partie est bornée et vaut $+\infty$ sinon[2] - [3].

Exemples

Dans le plan euclidien, le diamètre d'un rectangle est la longueur d'une diagonale.
Les parties non vides de diamètre nul sont les singletons[2].
Le diamètre d'un triangle équilatéral est la longueur d'un de ses côtés. Une figure de diamètre d ne peut pas toujours être placée à l'intérieur d'un cercle de rayon d/2 comme le prouve le cas du triangle équilatéral.

Propriétés

Les ensembles $A$ et ${\bar {A}}$ (adhérence de $A$ ) ont même diamètre[4].
(Théorème des fermés emboîtés) Dans un espace métrique complet, pour toute suite décroissante $(F_{n})$ de fermés non vides dont le diamètre tend vers zéro, l'intersection des $F_{n}$ est un singleton.

Diamètre du vide: Certains auteurs[5] - [6] étendent la définition formelle ci-dessus au cas de la partie vide — ce qui donne $diam(\emptyset) = sup(\emptyset) = -\infty$ — mais la plupart préfèrent s'abstenir de considérer ce cas[2] ou poser, par convention[3], $diam(\emptyset) = 0$ , ce qui revient à définir le diamètre d'une partie quelconque comme une borne supérieure non pas dans $[-\infty, +\infty]$ mais dans $[0, +\infty]$ .

En astronomie, à la notion de diamètre on peut associer celle de diamètre apparent. Le diamètre apparent est alors homogène à un angle et se mesure en degrés ou en radians.

Diamètre d'une courbe algébrique plane

Diamètre d'une conique

On remarque que, si l'on coupe un cercle par un ensemble de droites de même direction et que, pour chacune d'entre elles, on construit le milieu des deux points d'intersection, ces milieux se trouvent tous sur un même diamètre.

Cette propriété se vérifie pour toute conique : si l'on coupe une conique par un ensemble de droites de même direction et que, pour chacune d'entre elles, on construit le milieu des deux points d'intersection, ces milieux se trouvent tous sur une même droite. Par analogie avec le cas du cercle, on a donné à cette droite le nom de diamètre de la conique relativement à la direction des droites parallèles. On trouve aussi le diamètre défini comme une portion de droite : le lieu des milieux des cordes parallèles à une même direction[7].

Pour les coniques à centre, ces diamètres passent par le centre de la conique. On appelle «diamètres conjugués» deux diamètres dont l'un est le diamètre relatif à la direction définie par l'autre diamètre. Les diamètres conjugués orthogonaux sont les axes de symétrie de la conique.

Théorème de Newton

Isaac Newton a observé, en 1706, que cette propriété se généralise à des courbes algébriques de degré supérieur[8]. C'est le théorème de Newton sur les diamètres : si l'on coupe une courbe algébrique de degré n par un ensemble de droites de même direction rencontrant la courbe en n points et que, pour chacune d'entre elles, on construit l'isobarycentre des n points d'intersection, ces isobarycentres se trouvent tous sur une même droite.

On appelle cette droite diamètre conjugué à la direction des droites parallèles.

Diamètre selon Lebesgue

Henri Lebesgue, en 1921, travaille dans une autre direction avec une définition différente. Observant que le diamètre d'une conique est un axe de symétrie oblique de celle-ci, il appelle diamètre d'une courbe algébrique plane tout axe de symétrie oblique de celle-ci et il fait une classification des diamètres des courbes algébriques de degré m[9].

Notes et références

Informations lexicographiques et étymologiques de « module » (sens A, 2, a) dans le Trésor de la langue française informatisé, sur le site du Centre national de ressources textuelles et lexicales (consulté le 21 mai 2016).
N. Bourbaki, Éléments de mathématique, livre III : Topologie générale [détail des éditions] p. IX.14.
Jean-Pierre Ramis, André Warusfel et al., Mathématiques. Tout-en-un pour la Licence, vol. 2, Dunod, 2020, 3^e éd. (1^re éd. 2007) (lire en ligne), p. 474.
Jacques Dixmier, Topologie générale, Paris, PUF, 1981, p. 66, 74.
(en) Mícheál Ó Searcóid, Metric Spaces, Springer, 2006 (lire en ligne), p. 21.
(en) S. C. Sharma, Metric Space, Discovery Publishing House, 2006 (lire en ligne), p. 156.
Article Conique de La Grande Encyclopédie de Henri Lamirault, 1885-1902,, Tome 12, p. 434(Lire en ligne)
Michel Chasles, Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie, Mémoires de l'Académie Royales des sciences et belles-lettres de Bruxelles, T. XI, 1837, p. 144 (lire en ligne)
Henri Lebesgue, «Sur les diamètres rectilignes des courbes algébriques planes», Bulletin de la S.M.F., tome 49 (1921), p. 109-150, (lire en ligne)

Articles connexes

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