Théorème de Newton sur les diamètres

Une démonstration possible [2] s'appuie sur le fait que, dans un polynôme de degré n, la somme des racines est égal à l'opposé du quotient du coefficient du terme de degré n - 1 par le coefficient du terme de degré n.

On considère une courbe algébrique de degré n d'équation F(x ,y) = 0. On peut, sans perte de généralité, supposer que les droites parallèles ont pour équation y = mx + p où m est fixe et p variable. On ne considère que les droites possédant n points d'intersection avec la courbe. Les abscisses x_i de ces points d'intersections sont les racines du polynôme F(x, mx + p) de variable x. Dans ce polynôme, le coefficient du terme de degré n est un terme indépendant de p et le coefficient du terme de degré n - 1 est un polynôme en p de degré inférieur ou égal à 1. Il en est donc de même de la somme et de la moyenne des x_i . Les coordonnées du barycentre G sont alors toutes deux des fonctions affines de p. Lorsque le paramètre p varie, le point G parcourt bien une portion de droite.

Dans le cas des coniques (courbes algébriques de degré deux) , cette propriété est connue depuis les mathématiciens grecs, notamment d'Apollonius de Perge[3] : si l'on trace une série de parallèles coupant une conique, et si l'on prend, sur chaque parallèle, le milieu des points d'intersection, tous ces milieux seront sur une même droite. Cette droite est appelée pour une conique, diamètre de la conique relativement à la direction des parallèles. Par analogie, on appelle aussi «diamètre conjugué à une direction» la droite associée au faisceau de droites de même direction. Michel Chasles élargit vers 1830 cette propriété aux surfaces algébriques en parlant de plan-diamètre conjugué à un axe fixe[4].

Cette propriété est un cas limite du théorème de Cotes sur les moyennes harmoniques dans le cas où le point P est envoyé à l'infini[5].