Théorème de Cotes (moyenne harmonique)

Une démonstration possible s'appuie sur fait que, pour un polynôme de degré n sans racine nulle, la somme des inverses des racines est égale à l'opposé du quotient du coefficient du terme de degré 1 par le coefficient constant.

Pour un point P donné et une courbe algébrique de degré n ne passant pas par P, on considère l'équation de la courbe dans un repère d'origine P, F(x , y) = 0. On considère des droites passant par P de vecteurs directeurs ${\displaystyle {\vec {u}}=(\cos \theta ,\sin \theta )}$ et rencontrant la courbe en n points. Si la droite est munie du repère ${\displaystyle (P,{\vec {u}})}$, les abscisses des points d'intersections sont les racines du polynôme en λ, ${\displaystyle F(\lambda \cos \theta ,\lambda \sin \theta )}$. Son coefficient constant est F(0,0) et son coefficient de degré 1 est une combinaison linéaire des fonctions cosinus et sinus. On a donc

${\displaystyle {\frac {1}{n}}(\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n})=-{\frac {a}{nF(0,0)}}\cos(\theta )-{\frac {b}{nF(0,0)}}\sin(\theta )=r\cos(\theta -\varphi )}$

où r et φ sont des constantes indépendantes de θ.

Illustration du théorème de Cotes pour un point intérieur de la conique. Pour chaque droite du faisceau, la moyenne harmonique relativement à P des points d'intersection avec la courbe reste sur la droite en bleu continu

Le point M_H a donc pour coordonnées

${\displaystyle \left({\frac {1}{r\cos(\theta -\varphi )}}\cos \theta ,{\frac {1}{r\cos(\theta -\varphi )}}\sin \theta \right)}$.

Il est donc situé sur la droite passant par le point ${\displaystyle H\left({\frac {\cos \varphi }{r}},{\frac {\sin \varphi }{r}}\right)}$ et perpendiculaire à (PH)[1].

La propriété est valable tant pour des moyennes harmoniques de nombres positifs que pour des moyennes harmoniques comportant des termes négatifs à condition que la somme des termes ne soit pas nulle.

Ce théorème est énoncé par Roger Cotes. Il est trouvé dans les papiers du savant, après sa mort en 1716, par son cousin mathématicien Robert Smith, qui le transmet, sans démonstration, à Colin Maclaurin[2]. Ce dernier en propose deux démonstrations, une géométrique et une algébrique[3] dans son De linearum géometricarum proprietatibus generalibus tractatus de 1748[4]

Ce théorème généralise le théorème de Newton sur les diamètres qui traite de la moyenne arithmétique des points d'intersection pour un faisceau de droites parallèles[5]. Il suffit pour passer de ce théorème à celui de Newton de faire glisser le point P sur la droite directrice du futur faisceau de parallèles. Quand le point P part vers l'infini la moyenne harmonique des points d'intersection relativement à P a pour limite l'isobarycentre de ces points. Le faisceau de droites concourantes en P tend alors vers un faisceau de droites parallèles.