Anomalie excentrique

Bien que n'ayant pas de réalité physique (on ne mesure pas cet angle, mais l'anomalie vraie v, représentant l'angle zsp entre la position réelle p du corps orbitant et celle de son périastre z), l'anomalie excentrique présente un réel intérêt, en permettant notamment d'établir une relation relativement simple entre la distance r de l'objet au foyer s de la trajectoire et le temps t, sous la forme d'une équation paramétrique, c'est-à-dire que l'on ne dispose pas de la relation exacte ${\displaystyle r(t)}$, mais d'une double relation entre r et E, et entre t et E. a étant la demi-longueur du grand axe de la trajectoire elliptique, on a d'une part :

${\displaystyle r=a(1-e\cos(E))}$

D'autre part, la relation entre anomalie excentrique E et anomalie moyenne M est[1] :

${\displaystyle E-e\sin(E)=M}$

L'anomalie moyenne étant facile à calculer à partir du temps t, on en déduit l'anomalie excentrique E en fonction du temps. On procède généralement par itérations, en partant de E = M et en exécutant cinq fois de suite l'instruction d'affectation ${\displaystyle E:=M+e\sin(E)}$.

Les relations entre anomalie excentrique E et anomalie vraie v sont :

${\displaystyle \cos(E)={\frac {x}{a}}={\frac {e+\cos(v)}{1+e\cos(v)}}}$

${\displaystyle \sin(E)={\frac {y}{b}}={\frac {{\sqrt {1-e^{2}}}\,\sin(v)}{1+e\cos(v)}}}$

Inversement, on a :

${\displaystyle \cos(v)={\frac {\cos(E)-e}{1-e\cos(E)}}}$

${\displaystyle \sin(v)={\frac {{\sqrt {1-e^{2}}}\sin(E)}{1-e\cos(E)}}}$

${\displaystyle \tan \left({\frac {v}{2}}\right)={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\tan \left({\frac {E}{2}}\right)}$

Ces dernières relations permettent d'obtenir l'anomalie vraie à partir de l'anomalie excentrique.

• Anomalie moyenne
• Anomalie vraie
• Équation de Kepler
• Lois de Kepler